به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
129 بازدید
در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a_{1}, a_{2} ,..., a_{n} $ جمله های یک دنباله حسابی باشند حاصل

$$S= \frac{1}{ \sqrt{a_{1} } + \sqrt{ a_{2} } }+ \frac{1}{ \sqrt{a_{2} } + \sqrt{ a_{3} } }+....+\frac{1}{ \sqrt{a_{n-1} } + \sqrt{ a_{n} } } $$

را محاسبه کنید.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط jafar
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ
$$\begin{align} S&= \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} } + \sqrt{ a_{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{ a_{3} } + \sqrt{ a_{2} } } + ...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n} } + \sqrt{ a_{n-1} } }\\ & = \frac{\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} }}{ a_{2}- a_{1} } + \frac{\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} }}{ a_{3}- a_{2} } + ...+\frac{\sqrt{ a_{n} }-\sqrt{ a_{n-1} }}{ a_{n}- a_{n-1} } \end{align}$$

اما از طرفی در تصاعد حسابی تفاضل هر دو جمله پشت سرهم برابر قدرنسبت یعنی $d $ است و $ a_{n} = a_{1}+(n-1)d $ پس $$\begin{align} S&= \frac{(\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} })+(\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} })+...+ (\sqrt{ a_{n} } - \sqrt{ a_{n-1} })}{d}\\ &= \frac{\sqrt{ a_{n} } - \sqrt{ a_{1} }}{d}= \frac{ a_{n} - a_{1} }{d(\sqrt{ a_{n} } +\sqrt{ a_{1} }) } \\ &= \frac{(n-1) d}{d (\sqrt{ a_{n} } +\sqrt{ a_{1} })} = \frac{n-1}{\sqrt{ a_{n} }+ \sqrt{ a_{1} }} \end{align}$$

+2 امتیاز
توسط AQSHIN

http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=15090718721735813120

توسط admin
+1
ممنون از پاسختون.
خیلی تمرین خوبی میشه اگه همینو با تایپ ریاضی موجود در اینجا بنویسید.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...