به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
263 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ A\subset X $ و $\mu^\star(A)=0 $ آنگاه $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است. در نتیجه فضای اندازه تولیدشده توسط یک اندازه خارجی کامل است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

اثبات $ \mu^\star $-اندازه پذیری: برای هر $ E\subset X $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \mu^\star(E)&\leq \mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \cancelto{0}{\mu^\star(A)}+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \mu^\star (E) \end{align}$$ لذا $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است.

اثبات کامل بودن: فرض کنید $ A\in\mathcal M $ (که $\mathcal M $ سیگماجبر تولید شده توسط $ \mu^\star $ یعنی مجموعه تمام مجموعه های $\mu^\star $-اندازه پذیر است) باشد. و $ B\subset A $ . در اینصورت : $ \mu^\star(B)\leq \mu^\star (A)=0 $ لذا $\mu^\star(B)=0 $ . و بنابر آنچه که در بالا ذکر شد: $B\in\mathcal M $ . یعنی کامل است.

دارای دیدگاه توسط
+2

باسلام واقعاٌ جوابتان عالی بود. ببخشید بنده هم میتونم به سئوالات دبیرستانی پاسخ دهیم.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...