به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
49 بازدید
در دانشگاه توسط zmohamadi

فرض کنید Rحلقه ای متناهی بوده و تنها عنصرپوچ توان آن صفر باشد.ثابت کنیدRبا ضرب دکارتی تعداد متناهی میدان یکریخت است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

از اینکه $R $ متناهی است نتیجه میگیریم که آرتینی چپ است( لذا $J(R) $ یک ایده آل پوچتوان است و چون تنها صفر پوچتوان است لذا $ J(R)=0 $ اما $rad(R) \subseteq J(R)=0$) و در حلقه های آرتینی حلقه نیمه ساده است اگروتنها اگر $rad(R)=0$ پس در اینجا حلقه نیمه ساده خواهد بود.

همچنین هر حلقه نیمه ساده با ضرب دکارتی تعداد متناهی میدان یکریخت است و این حکم را ثابت می کند.

اثبات $rad(R)=0$ آنگاه حلقه نیمه ساده است:

از آنجایی که $ R $ آرتینی است لذا داریم $ R= \bigcap_{i=1}^t m_{i} $ که در آن $ m_{i} $ها ایده آلهای ماکسیمال هستند.(در غیر این صورت یک زنجیر نزولی به صورت $m_{1} \supseteq m_{1} \bigcap m_{2} \supseteq ... $ خواهیم داشت که تناقض است).

نگاشت $ R \rightarrow \bigoplus_{i} \frac{R}{m_{i}} $ یک به یک خواهد بود چون هسته آن برابر است با $ \bigcap_i m_{i}=rad(R)=0 $ اما هر $\frac{R}{m_{i}} $ ساده است چون $ m_{i} $ ها ماکسیمال هستند. پس $ R$ با یک زیرمدول یک مدول نیمه ساده یکریخت خواهد شد لذا نیمه ساده است.

اثبات همچنین هر حلقه نیمه ساده با ضرب دکارتی تعداد متناهی میدان یکریخت است:

با توجه به قضیه $Wedderburn–Artin$ از اینکه حلقه نیمه ساده است لذا با حاصلضرب حلقه های ماتریسی رو حلقه ی تقسیم یکریخت است اما از آنجایی که حلقه جابجایی است تمام حلقه های ماتریسی باید $1 \times 1$و تمام حلقه های تقسیم میدان باشند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...