به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
126 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر$ f:X\to Y$،یک به یک وپوشا باشد.

در اینصورت $f$ یک نگاشت باز است اگر و تنها اگر $f^{-1}:Y\to X$ پیوسته باشد.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

من فرض میکنم که منظور شما نگاشت $f:(X,\tau_1)\to (Y,\tau_2 )$ است که $(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ فضاهای توپولوژیک هستند. توجه کنید که $(f^{-1})^{-1}=f$

فرض کنید $f$ یک نگاشت باز باشد. نشان می دهیم که $f^{-1}:(Y,\tau_2)\to (X,\tau_1)$ پیوسته است:

فرض کنید $G\in \tau_1$ (یعنی $G$ در $X$ باز باشد) در اینصورت از باز بودن $ f:(X,\tau_1)\to (Y,\tau_2 ) $ مجموعه $f(G)\subset Y$ باز است یعنی $f(G)\in\tau_2$ اما $f(G)=(f^{-1})^{-1}(G)$ یعنی $f^{-1}$ پیوسته است.(مجموعه های باز را به مجموعه های باز برگرداند)

برعکس: فرض کنیم $f^{-1}$ پیوسته باشد. نشان می دهیم $f$ باز است:

فرض $G\in \tau_1$ باز باشد در اینصورت از پیوستگی $f^{-1}$ مجموعه $(f^{-1})^{-1}(G)=f(G)\in\tau_2$ باز است. یعنی $f$ نگاشتی باز است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...