به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
75 بازدید
در دبیرستان توسط math
ویرایش شده توسط fardina

تابع $f$ معکوس پذیر است و تابع $g$ در رابطه ی $ g(x)= \frac{2f( \sqrt{x}) }{3-5f( \sqrt{x}) } $ صدق میکند ( $x>0$ ). وارون تابع $g$ را بر حسب تابع $f$ بدست آورید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط math
 
بهترین پاسخ

اولا که باید ثابت شود $g$ هم معکوس پذیر است یا بطور معادل یک به یک است. یعنی اگر $x_1,x_2> 0$ و $g(x_1)=g(x_2)$ در اینصورت $$\frac{2f(\sqrt x_1)}{3-5f(\sqrt{x_1})}=\frac{2f(\sqrt x_2)}{3-5f(\sqrt{x_2})}$$ با طرفین وسطین داریم $$\require{cancel}6f(\sqrt{x_1})-\cancel{10f(\sqrt{x_1})f(\sqrt{x_2})}=6f(\sqrt{x_2})-\cancel{10f(\sqrt{x_1})f(\sqrt{x_2})}$$ یعنی $f(\sqrt{x_1})=f(\sqrt{x_2})$ و چون $f$ یک به یک است پس $\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}$ لذا $x_1x_2$ .

چنانچه قرار دهیم $y=g(x)=\frac{2f(\sqrt x)}{3-5f(\sqrt x)}$ با تعویض نقش $x,y$ داریم $ x=\frac{2f(\sqrt y)}{3-5f(\sqrt y)} $ . با طرفین وسطین و فاکتورگیری خواهیم داشت $f(\sqrt y)=\frac{3x}{5x+2}$ بنابراین $\sqrt y=f^{-1}(\frac{3x}{x+2})$ و لذا $y=g^{-1}(x)=(f^{-1}(\frac{3x}{5x+2}))^2$

توسط math
عالی بود ممنونم

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...