به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
227 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اگر$ x_{1} , x_{2} , x_{3} $ ریشه های معادله ی $ x^{3}+3x+5=0 $ باشند.

حاصل $ ( x_{2} + \frac{1}{ x_{2} } )( x_{3} + \frac{1}{ x_{3} } ) $$ ( x_{1} + \frac{1}{ x_{1} } ) $ را بدست آورید.

دارای دیدگاه توسط
+1
@yedost
بله به احتمال زیاد ریشه های معادله هستن. امیدوارم سوالشونو ویرایش کنن.
راستی برای نوشتن فرمول در دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا علامت دلار $ بذارید.
دارای دیدگاه توسط
+1
سلام دوستان
ایکس 1 ، 2 و 3 سه تا از ریشه های متمایز معادله هستن
سوال برای آزمون ریاضی imc می باشد.
دارای دیدگاه توسط
+1
ممنون از راهنماییتون
دارای دیدگاه توسط
+1
فکرمیکنم ریشه مختلط داره یعنی $x_i$  ها لزوما صحیح نیستند.
دارای دیدگاه توسط
+1
ابهام زیاد داره من گشتم اما پاسخ آزمون رو پیدا نکردم که ملزم شد اینجا مطرح کنم.
بازم ممنون از همه

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
 
بهترین پاسخ

باید روابط بین ریشه های معادله درجه سوم رو بلد باشید.

در حالت کلی در معادله درجه سوم $ax^3+bx^2+cx+d=0$ که دارای سه ریشه $x_1,x_2,x_3$ است را می توان به صورت $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ نوشت.

بنابراین $$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x\\ -ax_1x_2x_3$$ (اینو به راحتی با ضرب $ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $ میتونید به دست بیارید.)

در اینجا $x^3+0x^2+3x+5=0$ داریم $a=1,b=0, c=3, d=5$ .

اما داریم $$(x_1+\frac 1{x_1})(x_2+\frac 1{x_2})(x_3+\frac 1{x_3})=\frac{(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)}{x_1x_2x_3}$$

بنابر آنچه در بالا گفتیم $x_1x_2x_3=-\frac da=-5$ و $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac ca=3$ و $x_1+x_2+x_3=-\frac ba=0$

چون $x_1,x_2,x_3$ در معادله صدق می کنند و هیچکدام صفر نیستند(چرا؟) پس برای $i=1,2,3$داریم $$ x_i^2+1=\frac{-5-2x_i}{x_i} $$ لذا $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)=(\frac{-5-2x_1}{x_1})(\frac{-5-2x_2}{x_2})(\frac{-5-2x_3}{x_3})\\ =-\frac{125+50(x_1+x_2+x_3)+20(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+8x_1x_2x_3}{x_1x_2x_3}\\=-\frac{125+50(0)+20(3)+8(-5)}{-5}=29$$

البته $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)$ رو میتونید به طور مستقیم هم حساب کنید. چون برابر است با $$(x_1x_2x_3)^2+((x_1x_2)^2+(x_1x_3)^2+(x_2x_3)^2)+(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+1$$ و $$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=(0)^2-2(3)=-6$$

و $$(x_1x_2)^2+(x_1x_3)^2+(x_2x_3)^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2x_3)=(3)^2-2(0)(-5)=9$$

بنابراین $ (x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)=25-6+9+1=29 $ بنابراین $$(x_1+\frac 1{x_1})(x_2+\frac 1{x_2})(x_3+\frac 1{x_3})=\frac{29}{-5}$$

دارای دیدگاه توسط
+1
سلام ممنونم از شما خیلی کمکم کردین
دست تون درد نکنه
دارای دیدگاه توسط
+1
@math
خواهش میکنم. موفق باشید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...