به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
57 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط moha
ویرایش شده توسط fardina

اگر $X$ و $Y$ دو فضای توپولوژیک و $f:X\to Y$ یک تابع باشد $Gr(f)=\{(x,f(x)):x \in X\}$ یک زیر مجموعه $X\times Y$ است . اگر $Gr(f)$ بسته باشد (در$X\times Y$ ) آیا $f$ پیوسته است؟ مثالی بیاورید .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به عنوان مثال $f:\mathbb R\to \mathbb R$ را با توپولوژی اقلیدسی در نظر بگیرید که $f(x)=\begin{cases}\frac 1x&x>0\\ 1&x\leq 0\end{cases}$ در اینصورت $Gr(f)$ برابر است با اجتماع دو مجموعه بسته که بسته است در حالیکه $f$ در $x=0$ پیوسته نیست.

قضیه درست از این قرار است:

اگر $X$ فضای توپولوژیک و $Y$ فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده باشد در اینصورت $f$ پیوسته است اگر و تنها اگر $Gr(f)$ در $X\times Y$ بسته باشد.

شرط فشرده بودن فقط در جهت عکس الزامی است یعنی اگر $X$ فضای توپولوژیک و $Y$ فضای توپولوژیک هاسدورف و $f:X\to Y$ پیوسته باشد در اینصورت $Gr(f)$ در $X\times Y$ بسته است.

برای عکس این مطلب شرط فشردگی لازم است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...