به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
74 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط

فرض کنید $f$ پیوسته $c[0,1]= \{f:[0,1]\to \mathbb R\}$ و $ \parallel Tx \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel $ و $T:X\to\mathbb R$ .

ثابت کنید $$ \parallel T \parallel =\inf\{c \geq 0 : \parallel Tx \parallel \leq c \parallel x \parallel , \forall x \in X\}$$

دارای دیدگاه توسط
+2
ببخشید میشه سوالو ویرایش کنید و بگید دقیقا دنبال اثبات چی هستید؟ شما نرم یک عملگر خطی رو میخواید ثابت کنید با اون اینفیمم که نوشتید برابر هستن؟ درست سوالو متوجه شدم؟
دارای دیدگاه توسط
بله میخوام ثابت کنم نرم این عبارت برابر است با inf..

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

نرم عملگر خطی $T:X\to Y$ که به صورت $$\|T\|=\sup\{\|Tx\|:\|x\|= 1\}$$ تعریف می شود برابر است با $$\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}$$

می دانیم که برای هر $x\in X$ داریم $\|Tx\|\leq \|T\|\|x\|$ بنابراین $\|T\|\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ و لذا $$\inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\leq \|T\|\tag{*}$$

حال فرض کنید $c\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ دلخواه باشد در اینصورت برای هر $x\in X$ که $x\neq 0$ داریم $\frac{\|Tx\|}{\|x\|}\leq c$ و لذا $$\|T\|=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}\leq c$$ چون $c$ دلخواه بود لذا $$\|T\|\leq \inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\tag{**}$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...