به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
84 بازدید
در دانشگاه توسط moha
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

فرض کنید $f$ پیوسته $c[0,1]= \{f:[0,1]\to \mathbb R\}$ و $ \parallel Tx \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel $ و $T:X\to\mathbb R$ .

ثابت کنید $$ \parallel T \parallel =\inf\{c \geq 0 : \parallel Tx \parallel \leq c \parallel x \parallel , \forall x \in X\}$$

توسط fardina
+2
ببخشید میشه سوالو ویرایش کنید و بگید دقیقا دنبال اثبات چی هستید؟ شما نرم یک عملگر خطی رو میخواید ثابت کنید با اون اینفیمم که نوشتید برابر هستن؟ درست سوالو متوجه شدم؟
توسط
بله میخوام ثابت کنم نرم این عبارت برابر است با inf..

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

نرم عملگر خطی $T:X\to Y$ که به صورت $$\|T\|=\sup\{\|Tx\|:\|x\|= 1\}$$ تعریف می شود برابر است با $$\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}$$

می دانیم که برای هر $x\in X$ داریم $\|Tx\|\leq \|T\|\|x\|$ بنابراین $\|T\|\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ و لذا $$\inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\leq \|T\|\tag{*}$$

حال فرض کنید $c\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ دلخواه باشد در اینصورت برای هر $x\in X$ که $x\neq 0$ داریم $\frac{\|Tx\|}{\|x\|}\leq c$ و لذا $$\|T\|=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}\leq c$$ چون $c$ دلخواه بود لذا $$\|T\|\leq \inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\tag{**}$$

hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...