به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
1,774 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

مثالی بزنید که نشان دهد انتگرال سیگما با سیگمای انتگرال برابر نیست!!!!!

3 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

اگر دنباله توابع $f_n:[0,\infty)\to\mathbb R$ را به صورت $$f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$$ تعریف کنید در اینصورت توجه کنید که چون $x>0$ لذا $0< e^{-x}< 1$ و $0< e^{-2x}< 1$و داریم $$\begin{align}\int_0^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)&=\int_0^\infty(\sum_1^\infty(e^{-x})^n-\sum_1^\infty(e^{-2x})^n)dx\\ &=\int_0^\infty(\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}})-(\frac{e^{-2x}}{1-e^{-2x}})dx\\ &=\frac{\ln 2}{2}\end{align}$$ زیرا با قرار دادن $e^{-x}=t$ داریم $\int_0^\infty (\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}})dx=\int_0^1\frac{1}{1+t}dt=\ln 2$

و به همین ترتیب داریم $\int_0^\infty (\frac{e^{-2x}}{1-e^{-2x}})=\frac{\ln 2}{2} $.

از طرف دیگر داریم:

$$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty f_n(x)&=\sum_1^\infty \frac{3}{2n}=\infty\end{align}$$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

تعریف میکنیم $ f_{n} (x) =\begin{cases} n^{2} &0 < x < \frac{1}{n} \\0 & O.w\end{cases} $ داریم $ \int_R f_{n} (x)dx= \int_0^{ \frac{1}{n} } n^{2}dx= n^{2} \times \frac{1}{n} =n $

حال قرار میدهیم $g_{1} (x)=f_{1} (x)$ و $ g_{n} (x)=f_{n} (x)-f_{n-1} (x) $ خواهیم داشت $ \sum_{i=1}^N g_{n} (x) =f_{N} (x)$ پس $ \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x) = \lim_{N \rightarrow \infty } f_{N} (x)=0$

حال آماده هستیم تا دو مقدار $ \sum_{i=1}^ \infty \int_R g_{n} (x) $ و $ \int_R \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x) $ را بیابیم و با هم مقایسه کنیم. $$ \int_R \sum_{i=1}^ \infty g_{n} (x)= \int_R 0=0$$ $$ \sum_{i=1}^ \infty \int_R g_{n} (x) =\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n} (x)-f_{n-1} (x)=\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n} (x) $$ $$-\sum_{i=1}^ \infty \int_R f_{n-1} (x)=\sum_{i=1}^ \infty n-(n-1)=\sum_{i=1}^ \infty 1$$ پس این دو برابر نیستند.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
$$ \int \sum_1^n x= \int \frac{n(n+1)}{2}= \frac{1}{2}( \frac{ n^{3} }{3} + \frac{ n^{2} }{2} ) $$

$$ \sum_1^n \int x= \sum_1^n\frac{ x^{2} }{2}= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)=\frac{1}{2}(2 n^{3} +3n^{2}+n ) $$ همانطور که می بینید جواب دو عبارت به دست آمده با هم برابر نیست.

دارای دیدگاه توسط
+1
@yedost
برای تعداد متناهی میشه جای سیگما و انتگرال رو عوض کرد و این خاصیت انتگرال هست یعنی $\int_a^b\sum_1^n f_i(x)=\int_a^b(f_1(x)+...+f_n(x))dx=\int_a^b f_1(x)+...+\int_a^b f_n(x)=\sum_1^n\int_a^b f_i(x)dx$
مشکل اینه که در حالت سری نامتناهی این مطلب همواره درست نیست(در شرایط خاص درسته)
یعنی ما نمیتونیم همیشه نتیجه بگیریم
 $\int_a^b\sum_1^\infty f_n(x)=\sum_1^\infty\int_a^b f_n(x)$
(که erfanm یک مثال اوردن)
در اینجا شما در نمادگذاری دچار اشتباه شدید. یعنی شما دنباله توابع $f_n(x)$ رو هم به عنوان اندیس سیگما هم به عنوان متغیر انتگرال گیری در نظر گرفتید.
دارای دیدگاه توسط
yedost@
ببخشید متوجه اشتباهی که در جواب وجود داره نشدم!!
دارای دیدگاه توسط
+1
@yedost
شما نوشتید $\int\sum_1^n x$ خوب در اینجا $x$ رو اندیس گرفتید که تغییر می کنه و نوشتید $\int \frac{n(n+1)}2$ خوب حالا متغیر انتگرال گیری چیه؟ شما $n$ رو گرفتید متغیر انتگرال گیری در حالیکه $n$ کران بالای سیگمای $\sum_1^n x$ گرفته بودید!
بعد در پایین نوشتید $\sum_1^n \int x$ بعد متغیر انتگرال رو در اینجا $x$ گرفتید و نوشتید $\sum_1^n \frac{x^2}2$ بعد در اینجا باز هم $x$ رو اندیس سیگما در نظر گرفتید! و مجموع سیگما رو به دست آوردید.
شما می خواید نشون بدید $\sum_{i=1}^n\int f_i(x)dx\neq \int\sum_{i=1}^n f_i(x)dx$ یعنی در دنباله توابع $f_i(x)$ متغیر انتگرالگیری $x$ و اندیس هم $i$ . دیگه نباید این دو رو بجای هم استفاده کنید.
و همونطور که گفتم این چیزی که میخواید ثابت کنید اصلا امکان نداره چون در حالت متناهی برابر هستند. تنها مشکل وقتی پیش میاد که سری نامتناهی باشه.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...