به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
261 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

حاصل انتگرالهای مکرر زیر را به دست آورید:

$$\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=-\frac\pi4\\ \int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=\frac \pi4$$
مرجع: Aliprantis-Burkinshaw-Principles of real analysis-3ed.1998 تمرین 26.5
دارای دیدگاه توسط
+1
جوابشو دارم ولی ازش سر در نمیارم مستقیم جواب آخرشو نوشته!!!!

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

از این استفاده کنید: $$\frac{d}{dx}\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

از تغییر متغیر $x=sint$ و $y=cost$ استفاده می کنیم،در نتیجه $dy=-sintdt$ و $dx=costdt$ و می دانیم $ sin^{2}(t)+ cos^{2}(t) =1 $، $cos^{2}(t)=1- sin^{2}(t)$ در نتیجه: $$f(x,y)= \frac{ x^{2}- y^{2} }{( x^{2}+ y^{2} )^{2} } =sin^{2}(t)-cos^{2}(t)=2sin^{2}(t)-1$$ همچنین: $$x=0 \Rightarrow t=0$$ $$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $$ $$y=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$ $$y=1 \Rightarrow t=0 $$

پس: $$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_\frac{\pi}{2}^0(2sin^{2}(t)-1)(-sintdt)(costdt)= $$ $$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^\frac{\pi}{2}(2sin^{3}(t)-sint)costdtdt$$ با تغییر متغیر $u=sint \Rightarrow du=costdt$عبارت زیر به دست می آید که با انتگرالگیری به سادگی به جواب موردنظر میرسیم. $$\int(\int(2 u^{3}-u )du)dt$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...