به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
730 بازدید
در دانشگاه توسط MK90 (349 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در زیر نمونه‌ای از یک انتگرال دوگانه آمده‌است که با تغییر ترتیب انتگرال‌گیری نسبت به دو متغیرش پاسخ تغییر می‌کند. اما چگونه انتگرال‌های دوگانهٔ زیر محاسبه شده‌اند؟

\begin{align} \int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy &= -\frac\pi4\\ \int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx &= \frac \pi4 \end{align}
مرجع: کتاب Principles of real analysis نوشتهٔ Aliprantis و Burkinshaw ویرایش سوم تمرین ۲۶.۵
توسط MK90 (349 امتیاز)
جوابشو دارم ولی ازش سر در نمیارم مستقیم جواب آخرشو نوشته!!!!

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (16,074 امتیاز)
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

از این استفاده کنید: $$\frac{d}{dx}\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

+2 امتیاز
توسط yedost (1,812 امتیاز)

از تغییر متغیر $x=sint$ و $y=cost$ استفاده می کنیم،در نتیجه $dy=-sintdt$ و $dx=costdt$ و می دانیم $ sin^{2}(t)+ cos^{2}(t) =1 $، $cos^{2}(t)=1- sin^{2}(t)$ در نتیجه: $$f(x,y)= \frac{ x^{2}- y^{2} }{( x^{2}+ y^{2} )^{2} } =sin^{2}(t)-cos^{2}(t)=2sin^{2}(t)-1$$ همچنین: $$x=0 \Rightarrow t=0$$ $$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $$ $$y=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$ $$y=1 \Rightarrow t=0 $$

پس: $$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_\frac{\pi}{2}^0(2sin^{2}(t)-1)(-sintdt)(costdt)= $$ $$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^\frac{\pi}{2}(2sin^{3}(t)-sint)costdtdt$$ با تغییر متغیر $u=sint \Rightarrow du=costdt$عبارت زیر به دست می آید که با انتگرالگیری به سادگی به جواب موردنظر میرسیم. $$\int(\int(2 u^{3}-u )du)dt$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...