به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
844 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

عدد $-14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12} $ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

6 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
 
بهترین پاسخ

دقیقا متوجه منظور شما شدم راه حل جدید و کاملی که خودم پیدا کردم برای این موضوع بصورت زیر هست :

داریم :

$3< \sqrt{12} < 4$

و

$ 3< \sqrt{15} < 4$

نکته ای که اینجا باید توجه کنیم این است که محدوده ها درست است اما هدف ما بدست آوردن کوچکترین محدوده است که هنگام ضرب یا جمع محدوده بین دو عدد صحیح متوالی قرار گیرد پس دو رابطه بالا درست میباشد اما هدف بدست آوردن کوچکترین محدوده است . مینویسیم :

$(1) \rightarrow a< \sqrt{12} < b$

و

$(2) \rightarrow c< \sqrt{15} < d$

رابطه 1 و 2 را به توان دو میرسانیم داریم :

$a^{2}< 12 < b^{2}$

و

$c^{2}< 15 < d^{2}$

و رابطه 1 را در رابطه 2 ضرب میکنیم :

$ac< \sqrt{12} \times \sqrt{15} < bd$

دقت کنید ضرب رادیکال 12 در رادیکال 15 برابر با رادیکال 180 میشود که بین دو عدد 13 و 14 قرار دارد.

از این نابرابری ها میتوانیم نتیجه بگیریم که :

$ a^{2}=11 , b^{2}=13 , c^{2}=14 , d^{2}=16 , ac=13 , bd=14 $

صورت مسئله جمع دو رادیکال را مطرح کرده پس :

$a+c< \sqrt{12} + \sqrt{15} < b+d$

حالا کافیست a+c و b+d را به کمک اتحاد بدست آوریم :

$(a+c)^{2}=(a)^{2}+2ac+(c)^{2}$

و

$(b+d)^{2}=(b)^{2}+2bd+(d)^{2}$

مقادیر را قبلا بدست آورده ایم پس در روابط بالا جایگذاری میکنیم نتیجه :

$(a+c)^{2}=51 \Rightarrow a+c= \sqrt{51} $

و

$(b+d)^{2}=57 \Rightarrow b+d= \sqrt{57}$

پس :

$ \sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$

حالا باید ببینیم رادیکال 51 و رادیکال 57 بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارند:

$ 7< \sqrt{51} < 8$

و

$ 7< \sqrt{57} < 8$

هر دو بین 7 و 8 قرار دارند پس جمع دو رادیکال 12 و 15 هم بین این دو عدد قرار دارد :

$ 7< \sqrt{12}+\sqrt{15} < 8$

دقت کنید جمع هر تعداد رادیکال که مسئله از ما بخواهد باید اتحاد تشکیل دهیم. اگر دو رادیکال بود اتحاد مربع دو جمله ای شبیه این مسئله اگر سه رادیکال بود اتحاد مربع سه جمله ای اگر n رادیکال بود اتحاد مربع n جمله ای ........... سوالی بود در خدمتم

دارای دیدگاه توسط
$\frac{13}{3}$ بیشتر از 4 است یعنی عبارت
$\frac{13}{3} < \sqrt{15} < 4$
صحیح نیست. از طرفی چطور یک سمت رابطه رو در یک عدد ضرب کردین؟
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
بله درسته
اصلاح شد
دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
ممنون از پاسخ کاملتون.
ولی وقتی دو رادیکال بین دو عدد قرار دارند حاصل جمع آنها که بین همان دو عدد قرار ندارد.
مثلا رایکال 51 تقریبا برابراست با $7.14$ و رادیکال 57تقریبا برابراست با$7.5$، حاصل جمغ این دو رادیکال تقریبا14.6 می شود که بین 7 و 8 نیست.
کافی است بگوییم رادیکال 51 بزرگتر از 7 و رادیکال 57 کوچکتر از 8 است پس:
$\sqrt{51}< \sqrt{12}+\sqrt{15} < \sqrt{57}$
بین 7 و 8 قرار دارد.
با اصلاح این جمله پاسخ شما بهترین پاسخ خواهد بود.
دارای دیدگاه توسط
خواهش میکنم
منظور من از جمع دو رادیکال جمع رادیکال 12 با رادیکال 15 بود نه رادیکال 51 و 57
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
$ ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2}=12+15+2 \sqrt{180}=27+2 \sqrt{180} $

$180 $ بین دو عدد مربع کامل $14^2=196$ و$13^2=169$ قرار دارد لذا $$ 13 < \sqrt{180} < 14 \Rightarrow 53 < 27+2 \sqrt{180} < 55 $$

یعنی: $$ 53 < ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2} < 55$$ از آنجایی که می خواهیم بین دو عدد صحیح عبارت را بدست آوریم لذا با توجه به رابطه میفهمیم که $ ( \sqrt{12} + \sqrt{15} )^{2} $ بین 2 عدد مربع کامل $49$ و $64$ قرار دارد( به 49 نزدیک تر است ) لذا رادیکال آن یعنی $ \sqrt{12} + \sqrt{15} $ بین 7 و 8 قرار میگیرد پس داریم:

$$7 < \sqrt{12} + \sqrt{15} < 8 \Rightarrow -7 < -14+ \sqrt{12} + \sqrt{15} < -6$$
دارای دیدگاه توسط
+1
راه حل جالب و کوتاهی بود .
تفاوتش با راه حل بنده این است که محدوده بدست آمده از روش شما 53 تا 55 است و محدوده روش من 51 تا 57 بود که با این حساب شما محدوده بهتر و کوچکتری رو بدست آوردین اما جواب دو روش درست و یکی است.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
$3+ \frac{1}{4}< \sqrt{12}< 4, 3+ \frac{3}{4}< \sqrt{15}< 4 \Longrightarrow -7< -14+ \sqrt{15}+ \sqrt{12} < -6 $
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

سلام داریم:

$ 7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} < 8 $

نتیجه طرفهای نابرابری را منهای 14 میکنیم پس داریم:

$ -7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15} -14 < -6 $
دارای دیدگاه توسط
+2
دو عدد 8-  و 6-  متوالی نیستند.
دارای دیدگاه توسط
+1
چرا نوشتید؟ $7< \sqrt[]{12}+ \sqrt[]{15}  < 8$
دارای دیدگاه توسط
+1
اول تک تک رادیکالها رو بین دو عدد قرار دهید تا ببینیم چطوری عدد 7 و 8 به دست میان؟
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

سلام... enter image description here

دارای دیدگاه توسط
@khashayar
گفته متوالی.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
$$ \sqrt{15} =[ \sqrt{15} ]+ p_{x} ,0 \leq p_{x} < 1 $$ $$ \sqrt{12} =[ \sqrt{12} ]+ p_{y},0 \leq x_{k} < 1 $$ $$[ \sqrt{15} ]=[ \sqrt{12} ]=3$$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12} =6+ p_{x} + p_{y} $$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =6-14+ p_{x} + p_{y} $$ $$ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 =-8+ p_{x} + p_{y} $$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =[-8+ p_{x} + p_{y} ]$$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-8+[p_{x} + p_{y} ]$$ $$ [p_{x} + p_{y} ]=0,if: 0\leq p_{x} + p_{y} < 1\mathbb{(غلط! چرا؟)} $$ $$ [p_{x} + p_{y} ]=1,if: 1\leq p_{x} + p_{y} < 2 $$ $$[ \sqrt{15} + \sqrt{12}-14] =-7 \rightarrow -7 \leq \sqrt{15} + \sqrt{12}-14 < -6 $$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...