به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
108 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra
ویرایش شده توسط fardina

اگر $(A_n)_{n\geq 1}$ یک دنباله از مجموعه ها باشد نشان دهید $$\limsup_{n\to\infty} 1_{A_n}-\liminf_{n\to\infty} 1_{A_n}=1_{\{\limsup_n A_n\setminus \liminf_n A_n\}}$$

مرجع: سوال تمرین 2.5 از کتاب/Jean_Jacod, Philip Protter -Probability essential
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
سوال واضح نیست لطفا ویرایش نمایید یا عکسی از سوال را قرار دهید.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خداروشکر که مرجع سوالو نوشته بودید تونستم پیدا کنم و سوالو متوجه بشم.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
$$\begin{align}\limsup_{n\to\infty}1_{A_n}&=\inf_{m\geq 1}\sup_{n\geq m}1_{A_n}\\ &=1_{\cap_{m\geq 1}\cup_{n\geq m}A_n}\\ &=1_{\limsup A_n}\end{align}$$

و به همین ترتیب $\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}=1_{\liminf A_n}$

و چون $\liminf A_n\subseteq \limsup A_n$ لذا $$1_{\limsup A_n}-1_{\liminf A_n}=1_{\{\limsup A_n\setminus \liminf A_n\}}$$

(در واقع اگر $B\subset A$ آنگاه $1_A-1_B=1_{A\setminus B}$ )

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...