به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
10,669 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

ضلع مربع زیر$ 10 $ سانتی متر میباشد . enter image description here مساحت قسمت رنگی چقدر است ؟ ( شکل از برخورد 4 ربع دایره حاصل شده است . )

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

برای بدست آوردن مساحت مراحل زیر را انجام می دهیم:

enter image description here

از نقطه ی $ E $ به نقاط $ C $ و $ D $ وصل میکنیم تا مثلث متساوی الاضلاع به مساحت $ \frac{100 \sqrt{3} }{4} $ بدست آید.

enter image description here

ناحیه ی رنگی در شکل بالا قطاعی از دایره به زاویه ی 60 است که مساحت آن برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} $

با منها کردن مساحت های بدست آمده مساحت ناحیه ی رنگی زیر بدست می آید که برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

با دو برابر کردن آن و جمع با مساحت مثلث مساحت ناحیه ی زیر بدست می آید. $ \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{2}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}= \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

حال اگر ربع دایره با کمان $AEC$ را در نظر بگیریم مساحت آن برابر است با $\frac{100 \pi}{4}$ و اگر از آن ناحیه ی رنگی بالا را کم کنیم مساحت ناحیه ی رنگی

enter image description here

بدست می آید که برابر است با:

$\frac{100 \pi}{4}- \frac{100 \pi}{3} + \frac{100 \sqrt{3} }{4}=\frac{100 \pi}{12}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

حال اگر دقت کنیم ناحیه خواسته شده برابر متمم 4 برابر ناحیه ی بالا است چون:

enter image description here

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
نمایش از نو توسط

درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.

در اینصورت با توجه به شکل زیر

مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)

circle

چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$

همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس $$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین $$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$

بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$

circle2

بنابراین

$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اثباتشو نمیدونم ولی میشه32درصد مساحت همه مثلث

دارای دیدگاه توسط
+1
@taha
سلام taha
کدوم مثلث؟
دارای دیدگاه توسط
+1
ببخشید مربع اشتباه شده
دارای دیدگاه توسط
تقریبا میشه ۳۲ درصد نه دقیقا
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...