چهار ربع دایره درون یک مربع بکشید. مساحت قسمت مشترک این چهار ربع دایره چقدر است؟

Question

مربعی با یال ۱۰ سانتی‌متر داده‌شده‌است. از هر گوشهٔ آن یک ربعِ دایره درون مربع کشیده‌ایم. مساحت اشتراک این چهار ربعِ دایره که با رنگ زرد پر شده‌است چند سانتی‌متر مربع است؟

Answer 1

برای بدست آوردن مساحت مراحل زیر را انجام می دهیم:

از نقطه ی $ E $ به نقاط $ C $ و $ D $ وصل میکنیم تا مثلث متساوی الاضلاع به مساحت $ \frac{100 \sqrt{3} }{4} $ بدست آید.

ناحیه ی رنگی در شکل بالا قطاعی از دایره به زاویه ی 60 است که مساحت آن برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} $

با منها کردن مساحت های بدست آمده مساحت ناحیه ی رنگی زیر بدست می آید که برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

با دو برابر کردن آن و جمع با مساحت مثلث مساحت ناحیه ی زیر بدست می آید. $ \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{2}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}= \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

حال اگر ربع دایره با کمان $AEC$ را در نظر بگیریم مساحت آن برابر است با $\frac{100 \pi}{4}$ و اگر از آن ناحیه ی رنگی بالا را کم کنیم مساحت ناحیه ی رنگی

بدست می آید که برابر است با:

$\frac{100 \pi}{4}- \frac{100 \pi}{3} + \frac{100 \sqrt{3} }{4}=\frac{100 \pi}{12}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

حال اگر دقت کنیم ناحیه خواسته شده برابر متمم 4 برابر ناحیه ی بالا است چون:

Answer 2

درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.

در اینصورت با توجه به شکل زیر

مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)

چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$

همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس $$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین $$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$

بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$

بنابراین

$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$