به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra

سوال 3.15 با اثبات ریاضی وتوضیح بیشتر درون عکس آپلود شده

مرجع: سوال تمرین 3.15 کتاب Jean_Jacod, Philip Protter -Probability essential
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
خب فردی که پاسخ می‌دهد زحمت تایپ کردن و نوشتن مطلب را دارد می‌کشد، آن هم برای کمک به دیگری، چرا پرسش‌کننده زمان نگذارد و کمی ترجمه و تایپ برای پرسشش که کمک به خودش است بگذارد و کمی توضیح بدهد که بیشتر با چه چیزی از پرسش مشکل داشته‌است تا زمان کمتری از پایخ‌دهنده گرفته شود و مشکل اصلی را رفع کند. البته که پیوست کردن منبع اصلی خوب است ولی به معنای هیچ چیزی از خودتان ننوشتن نیست!

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

برای پاسخگویی به این تمرین نیاز دارید تمرین پیشین یعنی ۳.۱۴ را نیز انجام دهید. چون در متن پرسشتان بحث و محیط مطرح نشده‌است نیاز است برای خواننده پرسش را شفاف کنیم (زحمتی که پرسش‌کننده باید به گردن بگیرد نه پاسخ‌دهنده).

  • یک شرکت بیمه تعداد برابری آقا و خانم را بیمه می‌کند، پس احتمال مرد یا زن بودن یک بیمه‌شدهٔ این شرکت برابر، و برابر با یک دوم است.

  • در یک سال، ناوابسته به سال‌های دیگر، احتمال اینکه بیمه‌شدهٔ مرد، تصادف داشته‌باشد $\alpha$ و برای بیمه‌شدهٔ زن، $\beta$ است.

در تمرین ۳.۱۴ دو بند وجود دارد. بند (الف) از شما می‌خواهد که احتمال اینکه یک بیمه‌شدهٔ این شرکت امسال تصادف داشته‌باشد را بیابید. پیشامد تصادف داشتن را با $X$ و پیشامد مرد و زن بودن یک بیمه‌شده را به ترتیب با $M$ و $F$ نشان دهید در این صورت می‌دانیم $$P(F)=P(M)=\frac{1}{2},\:P(X|M)=\alpha,\:P(X|F)=\beta$$

توجه کنید که $F\cup M$ کل بیمه‌شدگان می‌شود و $F\cap M=\emptyset$، پس ${F,M}$ یک افراز برای فضای نمونه است و در نتیجه می‌توان از قضیهٔ ۳.۴ (معادلهٔ افراز) استفاده کرد. خواستهٔ بند (الف) -ِ تمرین ۳.۱۴ یافتن $P(X)$ است. $$P(X)=P(X|M)P(M)+P(X|F)P(F)=\frac{\alpha+\beta}{2}$$

بند (ب) از شما می‌خواهد که احتمال اینکه یک بیمه‌شدهٔ این شرکت دو سال پشت‌سرهم تصادف داشته‌باشد را بیابید. پیشام اینکه یک بیمه‌شده دو سال پشت‌سرهم تصادف داشته‌باشد را با $Y$ نمایش دهید. پیشامد تصادف داشتن در امسال را با $X_1$ و تصادف داشتن در سال پسین را با $X_2$ نمایش دهید. با توجه به فرض‌ها داریم؛ $$\begin{array}{l}P(X_1|M)=P(X_2|M)=P(X|M)=\alpha\\ P(X_1|F)=P(X_2|F)=P(X|F)=\beta\\ P(Y|M)=P(X_1|M\cap X_2|M)=P(X_1|M)P(X_2|M)=\alpha^2\\ P(Y|F)=P(X_1|F\cap X_2|F)=P(X_1|F)P(X_2|F)=\beta^2\\ P(Y)=P(Y|M)P(M)+P(Y|F)P(F)=\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}\end{array}$$

پرسش ۳.۱۵ می‌گوید پیشامد تصادف داشتن یک بیمه‌شده امسال را با $A_1$ نمایش دهید پس در واقع $A_1=X$، پیشامد تصادف داشتن یک بیمه‌شده در سال پسین را با $A_2$ نمایش دهید پس $Y=A_2|A_1$.

پرسش اصلی که پرسش‌کنندهٔ این پست نیز راهنمایی می‌خواهند (با توجه به عنوان پست)، ثابت کردن این است که در این محیط و شرایط داریم $P(A_2|A_1)\geq P(A_1)$. برای این کار کافیست نشان دهیم $P(A_2|A_1)-P(A_1)$ نامنفی است. علت اینکه بندهای (الف) و (ب) تمرین ۳.۱۴ را زمان گذاشتیم و پاسخ دادیم این بود که اکنون آنها را نیاز داریم. $$\begin{array}{lll} P(A_2|A_1)-P(A_1) & = & \frac{P(A_2\cap A_1)}{P(A_1)}-P(A_1)\\ & = & \frac{\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}}{\frac{\alpha+\beta}{2}}-\frac{\alpha+\beta}{2}\\ & = & \frac{2(\alpha^2+\beta^2)-(\alpha+\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\\ & = & \frac{(\alpha-\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\geq 0\end{array}$$

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...