به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
236 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط AQSHIN
ویرایش شده توسط fardina

نقاط بحرانی و اکسترمم تابع $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac 12x^2}dx $ را به دست آورده و انتگرال زیر را محاسبه کنید. $$ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac 12x^2}dx$$

توسط erfanm
+1
افشین جان سعی کن سوال رو تایپ کنی تا هم زیباتر باشه هم تمرینیه برای خودت.
توسط fardina
+2
دقیقا. اینطوری کاربرهای دیگه به جای اینکه سوالتو ویرایش کنن میتونن به جواب دادن به سوال فکر کنن.
و لطفا کوشش خودتو برای حل مساله بنویس.
توسط zh
+1
نقاط بحرانی و نقطه ماکسیمم فقط 0 میشه.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

تابع داده شده در تمام نقاط مشتق پذیر است لذا نقاط بحرانی نقاطی می شوند که مشتق در آنها صفر است لذا با مشتق گیری فقط نقطه صفر رو داریم اما انتگرال:

قرار میدهیم $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$ وبا محاسبه ی آن جواب سوال بدست می آید داریم$I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$و $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy$لذا می توان نوشت: $$ \begin{align} I^{2} &=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx \times \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy \\ &= \int\int_{ R^{2} } e^{-\frac 12(x^2+y^2)}d(x,y) \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdrd \theta \\&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr\\ \end{align}$$

حال از تغییر متغییر $s=-\frac 12(r^2) $ داریم:

$$ \begin{align} I^{2}&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr \\ &=2\pi \int_{0}^\infty -e^{s}ds \\ &=2\pi\\ \end{align}$$

پس مقدار $I $ برابر $\sqrt{2 \pi }$ است لذا مقدار انتگرال خواسته شده برابر $1 $ است.

توسط AQSHIN
ویرایش شده توسط admin
+2

بدون انتگرال دوگانه هم میشه نوشتش؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

توسط erfanm
روش دیگری هم برای محاسبش هست اما اون هم با استفاده از انتگرال دوگانه است. البته میتوان با تغییر متغییر اونو به تابع گاما تبدیل کنیم و فرمول محاسبه تابع گاما رو بلدیم. و از طریق آن جوابو بدست بیاوریم

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...