به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,547 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

چگونه می‌توان معادله لگاریتمی $ \log_2 (x+3)+\log_2 x=1$ را حل کرد؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
 
بهترین پاسخ

سلام منظور حل معادله ی لگاریتمی زیر است که در آن مبنای تمام لگاریتم ها برابر 2 است.

$ log _{2}(x+3) + (log _{2} x)=1$

برای حل ابتدا توجه داشته باشید اگر بین دو لگاریتم علامت + باشد فرمول زیر رو داریم

$ log a +log b = log ab$

لذا طرف چپ برابر $ log _{2} x(x+3) $ می شود. برای حل معادلات لگاریتمی معمولا در دوطرف تساوی کاری می کنیم که دو لگاریتم بماند حا در اینجا چون مبنای تمام لگاریتم ها 2 است با استفاده از نکته ی زیر بجای طرف راست میتوانیم $ log _{2}2 $ بنویسیم

لگاریتم هر عدد در مبنای خود عدد برابر یک است یعنی در اینجا داریم $1= log _{2}2 $

با جایگذاری به معادله ی $ log _{2}x(x+3)= log _{2}2 $ می رسیم چون مبنای همه 2 است لذا باید مقادیر جلوی لگاریتم با هم برابر باشند

اگر $ log a = log b $ باشد آنگاه $ a=b $ است.

یعنی $ x(x+3)=2$ یا $ x^{2} +3x=2$ و با حل معادله جواب بدست می آید. برای حل این معادله 2 را به طرف دیگر می آوریم و معادله ی در جه 2 $ x^{2} +3x-2=0$را حل می کنیم که جوابهای $ x= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} $ و $ x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2} $ بدست می آیند. اما طبق تعریف دامنه لگاریتم وقتی بجای $ x $ مقدار قرار می دهیم نباید عبارت جلوی لگاریتم منفی شود پس جواب $ x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2} $ قابل قبول نیست.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...