به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
217 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

این سوال در کانال تلگرامی محفل ریاضی توسط مدیران پرسیده شده است.

من این سوال رو اینجا قرار میدم تا همه بتوننن در موردش اظهار نظر کنن.

pi equal 4

اشتباه استدلال فوق چیست؟

8 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اشتباه در اینجاست که همگرایی مساحت رو با همگرایی محیط اشتباه در نظر می گیریم

برای اینکه محیط چند ضلعی برابر محیط دایره باشد باید حد اختلاف دو محیط یعنی $ \lim_{n \rightarrow \infty } ( P_{s} - P_{c}) $ صفر باشد حال محیط دایره ثابت و برابر پی هست و به سادگی میشه نشون داد محیط چند ضلعی در هر مرحله برابر 4 هست پس برای اینکه حد صفر باشد باید $ P_{s} - P_{c}=0 $ برقرار باشد یا به عبارتی $P_{s} = P_{c}$ حال نشان می دهیم محیط مربع بیشتر از دایره است به عبارتی پی برابر چهار نیست!! مساحت ربع دایره برابر $ \frac{ \pi }{4} $ و مساحت ربع مربع $ \frac{1}{4} $ هست و داریم مساحت ربع مربع بیشتر از ربع دایره هست و درنتیجه $ \pi < 4 $ می باشد

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

هیچوقت مجموع ضلع های چند ضلعی های محیط بر دایره برابر محیط دایره نمی شود تناقض و دو گانگی عدد پی از اینجا ایجاد می شود حد مجموع محیط چند ضلعی ها وقتی nبه سمت بینهایت میل کند برابر 4 می باشد ولی لزومی ندارد که این حد برابر محیط دایره باشد"

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اینکه اضلاع خیلی کوچک شوند دلیلی نمیشود که "محیط چند ضلعی" به "محیط دایره" میل کند. محیط آن چند ضلعی اصلا به محیط دایره ربطی ندارد! بلکه مساحت آن است که به مساحت دایره نزدیک می شود. (به عبارت دقیقتر، "شکل" دایره از نظر هندسی، "حد" چند ضلعی نیست، با این روش صرفا میتوان به "مساحت" دایره نزدیک شد... )

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

كوچک شدن اضلاع بر میل کردن محیط چند ضلعی به محیط دایره دلالت نمیکند. این دو محیط یعنی محیط دایره و چند ضلعی اصولا با هم بی ارتباط اند! در واقع مساحت چند ضلعی به مساحت دایره نزدیک میشود اما این اتفاق برای محیط نمی افتد. اگر فکر کنیم از لحاظ هندسی دایره حد شکل است کاملا بیراهه رفته ایم.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

همونطور که اکثر دوستان اشاره کردند این چند ضلعی ها به مساحت دایره نزدیک می شوند اما به محیط نزدیک نمی شوند.

به عبارت دیگر این چندضعی ها که با حذف کردن گوشه ها به دست آمدند یک تقریبی از محیط دایره نیستند. چرا که در تقریب در هر مرحله ما به تقریب بهتری از محیط دایره باید دست یابیم و در نهایت به قول یکی از دوستان اگر محیط دایره را با $P_c$ و محیط چندضلعی را با $P_k$ نمایش دهیم باید داشته باشیم $\lim_{k\to\infty}P_k-P_c=0$در حالیکه در اینجا همواره محیط چندضلعی ها ثابت $4$ بوده و لذا $\lim_{k\to\infty}P_k-P_c=4-\pi\neq 0$ .

برای درک بهتر مطلب زیر رو در این صفحه دیدم توضیح میدم. ما میتونیم مشکل مشابهی رو برای قطر یک مربع به طول یک واحد ببینیم:

کورا

همانطور که می بینید قطر مربع بنابر فیثاغورث برابر $\sqrt{2}$ است در حالیکه خط های قرمز، سبز و آبی و ... همگی طولی برابر $2$ دارند. اما همانطور که گفتیم چون این خطها تقریبی از محیط دایره نیستند پس تناقضی هم وجود ندارد. اگر بخواهیم ریاضی وارتر نگاه کنیم چنانچه در هر مرحله قطر را به $n$ قسمت تقسیم کنیم و با این خطهای پله ای آن را تقریب بزنیم در اینصورت در هر مرحله $n$ تا مثلث به اضلاع قائمه $\frac 1n$ و وتر $\frac{\sqrt 2}n$ خواهیم داشت اگر مساحت بین قطر و این خط ها را حساب کنیم داریم $$\lim_{n\to\infty}n\times \frac 1{n^2}\to 0$$ یعنی این خط ها تقریبی از مساحت هستند در حالیکه محیط همه ی خط ها برابر است با $n\times \frac 2n=2$ که همواره ثابت $2$ هستند.

البته چنانچه در همه ی گوشه هایی که برمیداریم وتر مربع رو در نظر بگیریم در اینصورت واضحه که تقریبی از محیط دایره هم خواهند شد.

این کلیپ جالب رو هم در مورد این سوال ببینید و همچنین منابع دیگر.

طور دیگر هم میشه به مساله نگاه کرد. اگر ما به چندضلعی ها به عنوان خم هایی در صفحه نگاه کنیم $f_n(x)$ در اینصورت این خمها واضح است که به خم دایره $g(x)$ نزدیک می شوند یعنی $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=g(x)$ . اما نمی توان در اینصورت انتظار داشت که طول خمها م به یکدیگر نزدیک شوند. چرا که می دانیم طول خم $f_n$ برابر است با $\int\sqrt{1+f_n'(x)}dx$ و طول خم $g$ برابر است با $\int\sqrt{1+g'(x)}dx$ . اما این دو لزوما با یکدیگر برابر نیستند. چرا که از $f_n(x)\to g(x)$ نمی توان نتیجه گرفت $f_n'(x)\to g'(x)$ .

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

محیط مربع با اعمال فوق همواره 4 است و برابر \pi نمیشود

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

این چند ضلعی در بی نهایت، از بی نهایت پاره خط شکسته تشکیل شده است. ولی دایره یک خط منحنی است و هیچوقت بر خطوط شکسته قابل انطباق نیست. پس نتیجه می گیریم مطمئنا pi<>4 ((:

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

محیط با مساحت رابطه مستقیم دارد یعنی هرچه محیط یک چند ضلعی افزایش پیداکند ...مساحت افزایش می یابد...در این مساله با توجه به حد گرفتن و ادامه دادن تا بی نهایت ما از محیط مربع می کاهیم ...پس مساحت را نیز می کاهیم...درنتیجه باروشی که انجام شد مساحت مربع با دایره یکسان میشود....که برابری نادرست عدد پی را با 4 نشان میدهد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...