به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
35 بازدید
در دانشگاه توسط MK90

نشان دهید مجموعه T یک زیر گروه از اعداد حقیقی با عمل جمع است. $T= \lbrace a+b \sqrt{2} \mid a,b \in Z\rbrace $

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

قضیه : فرض کنید که $G $ یک گروه است و $H$ یک زیر مجموعه ی ناتهی $G$ است در این صورت $H$ زیرگروه $G$ است اگر و تنهااگر به ازای هر $a , b \in H$ داشته باشیم : $$ab^{-1}\in H$$ که البته اگر گروه جمعی باشد حکم بالا به صورت زیر می شود : $$a - b \in H$$ حال نشان می دهیم $T$ زیرگروه اعداد حقیقی است تحت عمل جمع . فرض کنیم $$x,y \in T$$ پس $a,b,c,d \in Z $ وجود دارند که : $$ x = a +b\sqrt{2} $$$$ y = c +d\sqrt{2} $$ حال داریم : $$ x-y = (a-c)+(b-d)\sqrt{2}$$ چون $a,b,c,d$ اعداد صحیح هستند پس $a-c , b-d $ نیز صحیح هستند پس $x-y\in T$ بنابراین $T$ زیرگروه $G$ است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...