به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
80 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

فرض کنیم
$ \infty >p>r>1$ ثابت کنید: $$ L^p \subset L^r$$

و ثابت کنید: $$ \parallel X \parallel _r \leq \parallel X \parallel _p$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
سلام
میشه منبعی که دارید میخونید بگید؟ اسم کتاب و نویسنده.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

شرط متناهی بودن در این مساله ضروری است مثلا $f(x)=\frac 1{\sqrt x}$ برای $x\in[0, \infty)$ را در نظر بگیرید در اینصورت $f\in L^3$ ولی $f\notin L^2$

شرط متناهی بودن فضا در این مساله شرط اساسی است.

یعنی

چنانچه $\mu(X)< \infty$ و $0< p< q\leq \infty$ آنگاه $L^q\subset L^p$

اگر $q< \infty$ با استفاده از نامساوی هولدر با مزدوج های $\frac qp, \frac{q}{q-p}$ داریم $$\|f\|_p^p=\int|f|^p.1\leq \| |f|^p\|_{\frac qp}\times \|1\|_{\frac q{q-p}}=\|f\|_q^p\mu(X)^{\frac{q-p}q}< \infty$$

و اگر $q=\infty$ در اینصورت $$\|f\|_p^p=\int|f|^p\leq \|f\|_\infty ^p\int 1=\|f\|_\infty^p\mu(X)< \infty$$


اون نامساوی هم که گفتید اصلا برقرار نیست مثلا تابع ثابت $f(x)=c>0$ را در نظر بگیرید در بازه $X=(0,2)$ در اینصورت $\sqrt{2}c=\|f\|_2\not\leq \|f\|_3=\sqrt[3]2c$

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...