به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
284 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

ثابت کنید معادله $$z^2 = 6x^2-y^2$$ در مجموعه اعداد صحیح جوابی به غیر از $ (0,0,0)ّ $ ندارد .

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط کیوان عباس زاده
 
بهترین پاسخ

فرض کنید $( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$ جواب معادله بالا در مجموعه اعداد صحیح باشد که همگی صفر نمی باشند . پس $ z_{0}^2=6x_{0}^2-y_{0}^2 $ . حال فرض کنید $d =gcd( x_{0} , y_{0} , z_{0} )$ (منظور از $gcd$ ب,م,م است). پس طبق قضیه ای از نظریه اعداد , اعداد صحیح $( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$ وجود دارند که همگی صفر نمی باشند و $ gcd(x_{1} , y_{1}) =gcd(y_{1} , z_{1})=gcd(x_{1} , z_{1})=1$ و داریم : $$ \begin{cases}x_{0}=dx_{1}\\y_{0}=dy_{1}\\z_{0}=dz_{1}\end{cases} $$ حال با جاگذاری در معادله داریم : $$ (dz_{1})^2=6(dx_{1})^2-(dy_{1})^2 $$ $$ \Rightarrow (z_{1})^2=6(x_{1})^2-(y_{1})^2 $$ پس $( x_{1} , y_{1} , z_{1} )$ جواب معادله بالاست و دو به دو نسبت به هم اول هستند( یعنی دو به دو هیچ عامل مشترکی به غیر از $1$ ندارند) . حال چون : $$ z_{1}^2+ y_{1}^2=6 x_{1} ^2 $$ و $ 6 x_{1} ^2 $ عددی زوج است پس $ z_{1}, y_{1} $ دارای زوجیت یکسان هستند یعنی هردو یا فرد هستند یا هر دو زوج هستند اما چون $ z_{1}, y_{1} $ دارای عامل مشترکی جز $1$ نمی باشند پس نمی توانند هر دو زوج باشند پس هر دو فرد هستند . حال طبق قضیه ای از نظریه اعداد اگر $x$ عددی فرد باشد آنگاه $ x^2 \equiv 1(8) $( یعنی $x^2$ به پیمانه 8 همنهشت است با $1$ ) . پس چون $ z_{1}, y_{1} $ هر دو فرد هستند پس $ z_{1}^2 \equiv 1 , y_{1}^2 \equiv 1 (8) $ . پس : $$z_{1}^2+ y_{1}^2 \equiv 2 (8) $$ $$ \Rightarrow 6 x_{1} ^2 \equiv 2(8)$$ که تناقض است . زیرا اگر $x$ عددی صحیح باشد آنگاه $x^2 \equiv 0 ,1,4 (8)$ پس $6 x_{1} ^2 \equiv 0,6 (8) $ . پس معادله بالا جوابی غیر از $(0,0,0)$ در مجموعه اعداد صحیح ندارد .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...