به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
103 بازدید
در دانشگاه توسط ali9722
ویرایش شده توسط AmirHosein

گیریم $f=(f_1,f_2): \Omega \to E \times F$ نشان دهید که $f:( \Omega , \mathcal A ) \to (E \times F, \mathcal E \otimes \mathcal F )$ اندازه‌پذیر است اگرو تنها اگر $f_1:( \Omega , \mathcal A ) \to (E, \mathcal E )$ و $f_2:( \Omega , \mathcal A ) \to (F, \mathcal F)$ اندازه‌پذیر باشند. لازم به ذکر است $\otimes$ ضرب تانسوری بین سیگما میدان‌هاست. ( که کوچکترین سیگما میدان تولید شده توسط این دو می‌باشد.)

مرجع: کتاب Probability Essentials نوشتهٔ Jean Jacob و Philip Protter انتشارات Springer، سال ۲۰۰۲، صفحهٔ ۳۵، تمرین ۱ فصل ۱۰

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

اگر $(f_1, f_2):\Omega\to E\times F$ اندازه پذیر باشد از اندازه پذیر بودن توابع تصویر $\pi_1:E\times F\to E$ و $\pi_2:E\times F\to F$ نتیجه می شود$f_1=\pi_1\circ (f_1,f_2)$و $f_2=\pi_2\circ (f_1,f_2)$ اندازه پذیرند.

و برعکس اگر $f_1$ و $f_2$ اندازه پذیر باشند در اینصورت $$(f_1, f_2)^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\cap g^{-1}(B)$$ چرا؟ و چون $f,g$ ادازه پذیر ند پس$f^{-1}(A), g^{-1}(B)$ و لذا اشتراک آنها مجموعه ای اندازه پذیر است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...