به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
160 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط saderi7

مقدار انتگرال زیر را بیابید : $$ \int_0^{\frac{ \pi }{2}} \frac{dx}{1+(\tan\ x)^{\sqrt{2}}} $$

توسط kazomano
در کتاب آنالیز ریاضی 1 دکتر مدقالچی انتشارات پیام نور و کتاب حل مسئله از طریق مسئله لارسن  جوابش موجوده
توسط کیوان عباس زاده
+1
سلام دوست عزیز . بله می دونم ! اینکه من این سوالو اینجا گذاشتم دلیل نمیشه که جوابشو نمیدونم . بلکه میخوام دیگران هم استفاده کنند و اگر کسی راه حلی دیگری داره برای دیگران به اشتراک بذاره . بازم ممنون از شما.
توسط kazomano
درود بر شما.با توجه به اینکه فرمول نویسی در اینجا کمی وقت گیره ارجاع دادن میتونه مفید باشه.با اینکار افراد میتونم مطالب دیگه منبع اصلی رو هم مطالعه کنن.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط fardina

اولا می دانیم که $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$

ثانیا $$ \int_a^b f(x)\;dx=\int_a^b f(a+b-x)\;dx. $$ اگر قرار دهیم

$$ I(\alpha)=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha x}, \tag{*}\label{*} $$ در اینصورت بنابر آنچه در بالا گفتیم داریم:

$$ \begin{align} I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha\left(\frac{\pi}{2}+0-x\right)}\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\dfrac{1}{\tan^\alpha x}}\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x}{1+\tan^\alpha x}dx. \end{align}\tag{**}\label{**} $$

حال با توجه به $\eqref{*},\eqref{**}$ داریم:

$$ \begin{align} 2I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^\alpha x}dx+\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x} {1+\tan^\alpha x}dx\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}}\;dx\\ &=\frac{\pi}{2}\\ \end{align} $$

بنابراین $I(\alpha)=\large\color{blue}{\frac{\pi}{4}}$ .

توسط fardina
@saderi7
سلام. ممنون برای جواب جالبتون.
به نظر من یکی از مزیت های این سایت اینه که میتونیم توانایی های ریاضی نوشتنمونو بالا ببریم. اینکه شما بخواید با علائم ریاضی و بدون نوشتن توضیحات فارسی مطلب ریاضی بنویسید مطمئن باشید اصلا کار درستی نیست و اصلا کار معمولی نیست. مثلا کتابها و مقالات ریاضی رو ببینید هیچکدام این رویه رو ندارن. و اتفاقا ممکنه این طرز نوشتن باعث گمراه شدن خواننده بشه.
البته این موضوع رو فقط برای اینکه مطالبتون بهتر بشه خدمتتون عرض کردم. :)
توسط saderi7
@FARDINA
سلام .
ممنون بابت ویرایش عالیتون.
متاسفانه به علت کمبود وقتی که دارم نمیتونم زیاد توضیح بدم . ولی سعی میکنم در اسرع وقت تمام جوابامو با توضیحات بیشتر ویرایش کنم وبذارم.
بازم ممنون.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...