به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
103 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط sahar3
ویرایش شده توسط fardina

حاصل انتگرال های معین زیر را بدست بیاورید :

$$ \int_a^b |x|dx$$ $$ \int_a^b [x]dx$$

آیا میتوان این دو انتگرال بالا رابدست آورد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط vali
ویرایش شده توسط fardina

برای محاسبه انتگرال نامعین $$\int |x| \mathrm{d}x$$ از روش جزء‌به‌جزء استفاده می‌کنیم:

$$\begin{align} \left\{\begin{array}{r@{\mskip\thickmuskip}l} |x|=u\\ \mathrm{d}x=\mathrm{d}v \end{array} \right. \quad \implies \quad \left\{\begin{array}{r@{\mskip\thickmuskip}l} \frac{|x|}{x}\:\mathrm{d}x=\mathrm{d}u\\ x=v \end{array}\right. \end{align}$$

بنابراین داریم:

$$\begin{align} \int |x|\mathrm{d}x =\int u \mathrm{d}v&=uv - \int v\ \mathrm{d}u\\ &=x|x| - \int x\: \frac{|x|}{x} \ \mathrm{d}x=x|x|-\int |x| \ \mathrm{d}x\\ &\Longrightarrow \int |x|\ \mathrm{d}x=\frac{x|x|}{2} \end{align}$$

در نهایت برای محاسبه انتگرال معین $\int_a^b |x|\ \mathrm{d}x$ داریم:

$$ \int_a^b |x|\ \mathrm{d}x=\frac{x|x|}{2} |_a^b=\frac{b|b|}{2}-\frac{a|a|}{2} $$

برای محاسبه انتگرال معین $\int_a^b \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x$ از خاصیت جزء صحیح که برای هر عدد حقیقی $t$ داریم: $$\lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor +1$$ بنابراین:

$\begin{align*} \left\{\begin{array}{ll} a < \lfloor a \rfloor+1 \\ \lfloor b\rfloor \leq b \end{array} \right. \end{align*}$

لذا داریم:

$\begin{align*} \int_a^b \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x&=\int_a^{\lfloor a \rfloor+1} \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x+\int_{\lfloor a \rfloor+1}^{\lfloor a \rfloor+2} \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x+\dots\\ &+\int_{\lfloor b \rfloor-1}^{\lfloor b \rfloor} \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x+\int_{\lfloor b \rfloor}^{b} \lfloor x \rfloor \mathrm{d}x\\ &=(\lfloor a \rfloor-a+1)\lfloor a \rfloor+(\lfloor a \rfloor+1)+\ldots\\ &+(\lfloor b \rfloor-1)+(b-\lfloor b \rfloor)\lfloor b \rfloor\\ &=(\lfloor a \rfloor-a+1)\lfloor a \rfloor+(\lfloor a \rfloor+1)+\ldots\\ &+(\lfloor a \rfloor+(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1))+(b-\lfloor b \rfloor)\lfloor b \rfloor\\ &=(\lfloor a \rfloor-a+1)\lfloor a \rfloor+(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1)(\lfloor a \rfloor)\\ &+[1+2+3+\ldots+(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1)]+(b-\lfloor b \rfloor)\lfloor b \rfloor\\ &=(\lfloor a \rfloor-a+1)\lfloor a \rfloor+(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1)(\lfloor a \rfloor)\\ &+\frac{(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1)(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor)}{2}+(b-\lfloor b \rfloor)\lfloor b \rfloor\\ &=(\lfloor a \rfloor-a+1)\lfloor a \rfloor+\frac{(\lfloor b \rfloor-\lfloor a \rfloor-1)(\lfloor b \rfloor+\lfloor a \rfloor)}{2}+(b-\lfloor b \rfloor)\lfloor b \rfloor\\ \end{align*}$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...