به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,037 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $X= \lbrace 1,2,...,n\rbrace $ . چند تابع $f:P(X) \rightarrow \lbrace 0,1\rbrace $ وجود دارد به طوری که به ازای هر $A,B\in P(X)$ داریم : $$f(A \cup B)=f(A)+f(B)$$

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط N

n+1 این توابع با اثرشان روی زیر مجموعه های تک عضوی مشخص می شوند. حال n تابع که مجموعه تک عضوی $ \lbrace i\rbrace $ را به 1 نبگارد و بقیه مجموعه های تک عضوی را به صفر به اضافه تابع ثابت 0 ، n+1 تابع ممکن خواهن بود.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

با استفاده از استقرای ریاضی نتیجه می شود برای هر $A_{1},A_{2},...,A_{m}\in P(X)$ داریم : $$f(A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{m})=f(A_{1})+f(A_{2})+...+f(A_{m})$$ با توجه به اینکه $X= \bigcup_{i=1}^n \lbrace i\rbrace $ پس داریم : $$f(X)= \sum_{i=1}^n f( \lbrace i\rbrace ) $$ اما $f(X)=0$ یا $f(X)=1$ پس دو حالت داریم :

حالت اول : $ f(X)=0 $

در این صورت به ازای هر $i=1,2,...,n$ داریم $ f( \lbrace i\rbrace )=0 $ . حال فرض کنید $A\in P(X)$ پس $A= \bigcup_{i\in A} \lbrace i\rbrace $ بنابراین داریم : $$f(A)= \sum_{i\in A} f( \lbrace i\rbrace ) =\sum_{i\in A}0=0$$ پس $f=0$ . یعنی $f$ تابع ثابت صفر است .

حالت دوم : $f(X)=1$

در این صورت به ازای یک $i_{0}\in X$ داریم $f(i_{0})=1$ و به ازای بقیه $i$ ها داریم $f(i)=0$ . حال تابع $f_{i_{0}}$ را به صورت زیر تعریف می کنیم : $$ \forall A\in P(X):\ \ \ \ f_{i_{0}}(A)= \begin{cases}1 & i_{0}\in A\\0 & i_{0}\in A^c\end{cases} $$ به راحتی می توان نشان داد $f_{i_{0}}$ دارای خاصیت مسئله می باشد یعنی به ازای هر $A,B\in P(X)$ داریم : $$f_{i_{0}}(A \cup B)=f_{i_{0}}(A)+f_{i_{0}}(B)$$ حال چون $i_{0}$ هر یک از اعداد $1,2,...,n$ می تواند باشد پس $n$ تابع از این نوع داریم : $$f_{1},f_{2},...,f_{n}$$ که به همراه تابع ثابت صفر ( در حالت اول ) تعدادشان $n+1$ است .

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...