به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
73 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

اگر $f(x)$,$g(x),q(x),R(x)$ چند جمله ایی باشند .و $g(x)\neq 0$و$\deg f(x)\geq \deg g(x)$

آنگاه ثابت کنید که:

$$f(x)=g(x) \times q(x)+R(x)$$
دارای دیدگاه توسط N
+3
سوال شما به طور واضح نادرست است.
احتمالا منظور شما قضیه تقسیم در چند جمله ای هاست.
توجه کنید در ریاضیات منطق حاکم بر گزاره ها و صور های موجود در آنها بسیار مهم وتو جه به آنها حیاتی است. در صورت عدم تسلط کافی بر آنها همواره با تناقضات متعدد رو برو خواهید شد و هیچ گاه قادر به فهم مطالب ریاضی نخوا هید شد. لذا قبل از بررسی و اثبات قضیه ها و گزاره ها به مطالعه منطق و مبانی ریاضیات بپردازید. موفق باشید.
دارای دیدگاه توسط amirm20
+1
خیلی ممنون بابت دیدگاهتون.
منظورم همون قضیه ی تقسیم در چند جمله ایی هاست !
میسه اثباتشو بذارید.ممنون

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

روشی که شما پرسشتان را نوشته‌ای گزاره‌ای نادرست است، برای نمونه با قرار دادن $$f(x)=x^2,g(x)=x,q(x)=x^3,R(x)=x^4$$ تمامی فرض‌های گزارهٔ شما برقرارند یعنی هر چهار مورد چندجمله‌ای هستند. $g(x)\neq 0$ و $\deg f(x)>\deg g(x)$ ولی حکم گزارهٔ شما برقرار نیست زیرا $q(x)q(x)+R(x)=xx^3+x^4=2x^4$ که مخالف $x^2$ است.

صورت درست قضیهٔ الگوریتم تقسیم چندجمله‌ای‌های تک‌متغیره به شکل زیر است:

به فرض $f(x)$ و $g(x)$ دو چندجمله‌ای باشند و $g(x)$ مخالف صفر و $\deg g(x)<\deg f(x)$. در اینصورت چندجمله‌ای‌های یکتای $q(x)$ و $r(x)$ (من با آر کوچک برای این قضیه راحت‌ترم تا آر بزرگ) که $\deg r(x)<\deg f(x)$ و $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ وجود دارند.

اثبات: توجه کنید که یک چندجمله‌ای تک‌متغیره به شکل $$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ است. درجهٔ یک چندجمله‌ای ناصفر، بزرگترین توان ظاهر شده در نمایش آن است. و جملهٔ دارای این توان را جملهٔ پیشروی آن می‌نامیم. الگوریتم تقسیم به این شکل است که نگاه به درجهٔ $g$ و $f$ می‌کنید. اگر درجهٔ $g$ کمتر از درجهٔ $f$ باشد (که فرض کرده‌اید است) شروع به کار می‌کنیم. این بیشتر بودن درجه باعث می‌شود که جملهٔ پیشروی $f$ به جملهٔ پیشروی $g$ بخش‌پذیر باشد. تقسیم دو تک‌جمله‌ای را به شکل زیر تعریف می‌کنیم. $$\frac{a_nx^n}{b_nx^m}=\frac{a_n}{b_n}x^{n-m}$$ حاصل تقسیم جملهٔ پیشروی $f$ به جملهٔ پیشروی $g$ را با $q_1(x)$ نمایش دهید. قرار دهید $r_1(x)=f(x)-q_1(x)g(x)$ چون جملهٔ پیشروی $f$ در این تفاضل از بین می‌رود و سایر جملات در این تفاضل درجهٔ کمتر دارند، حاصل یک چندجمله‌ای با درجهٔ اکیداً کمتر از درجهٔ $f$ است پس می‌توانیم بگوئیم $$\ deg r_1\leq \deg f-1$$ بعلاوه داریم $$q_1g+r_1=(f-q_1g)+q_1g=f$$ اگر درجهٔ $r_1$ از درجهٔ $g$ کمتر بود که الگوریتم را متوقف می‌کنیم (شرط ایست الگوریتم). وگرنه مرحلهٔ پیش را بر روی $r_1$ انجام می‌دهیم و $q_2$ و $r_2$ ای خواهیم داشت که $$\deg r_2\leq\deg r_1 -1,\;r_2=q_2g+r_1$$ اما $$\begin{array}{ll} f & =q_1g+r_1\\ & =q_1g+q_2g+r_2\\ & = (q_1+q_2)g+r_2 \end{array}$$ دوباره با شرط ایست الگوریتم را برای $r_2$ یعنی $\deg r_2<\deg g$ را بررسی می‌کنیم. در صورت عدم برقراری آن ادامه می‌دهیم.

نخست توجه کنید که این الگوریتم حتما پس از تعداد متناهی گام می‌ایستد. زیرا درجهٔ $f$ یک عدد طبیعی و متناهی است و پس از هر مرتبه تکرار گام الگوریتم یک درجه از آن کاسته می‌شود و حداکثر در بدترین حالت پس از $\deg f-\deg g$ مرحله درجهٔ چندجمله‌ای باقی‌مانده از درجهٔ $g$ کمتر می‌شود و شرط ایست روی می‌دهد.

اکنون با توجه به روند الگوریتم می‌بینید که پس از خروج از الگوریتم با قرار دادن آخرین $r_i$ به عنوان $r$ و قرار دادن جمع $q_i$ها به عنوان $q$ دو ویژگی دلخواهمان را داریم. یعنی؛ $$\deg r<\deg g,\;f=qg+r$$

اکنون تنها اثبات یکتایی این دو چندجمله‌ای مانده‌است.

به فرض خلف فرض کنید $q,r$ و $q',r'$ هر دو دارای دو ویژگی بالا باشند پس از یک طرف داریم؛ $$\deg(r-r')\leq\max(\deg r,\deg r')<\deg g$$ توجه کنید که در مورد درجهٔ چندجمله‌ای‌های تک‌متغیره دو قانون سادهٔ زیر را داریم: $$\deg(h_1(x)+h_2(x)\leq\max(\deg h_1(x),\deg h_2(x))$$ $$\deg(h_1(x)h_2(x))=\deg h_1(x)+\deg h_2(x)$$ قسمت دوم نامساوی نیز به این خاطر بود که بیشینهٔ دو عدد، یکی از آن دو عدد است پس اگر آن دو عدد از مقداری کمتر باشند، بیشینهٔ آن دو نیز از آن مقدار کمتر است.

اینک از طرف دیگر نگاه کنید که؛ $$r-r'=f-qg-f+q'g=(q-q')g$$ اگر $q$ و $q'$ با هم برابر باشند آنگاه $r$ و $r'$ نیز مجبور هستند برابر باشند پس می‌توانیم فرض کنیم که $q-q'\neq 0$ و در نتیجه: $$\deg(r-r')=\deg((q-q')g)=\deg)q-q')+\deg g\geq\deg g$$ پس $$\deg(r-r')<\deg g\leq\deg(r-r')\Longrightarrow\deg(r-r')<\deg(r-r')$$ که تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا نمی‌توان دو جفت متمایز برای $q,r$ داشته باشیم.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...