به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
296 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567 (914 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

حاصل حد زیر را بدست بیاورید ؟ با تشکر $$ \lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$$

توسط jafar (479 امتیاز)
این رو به انتگرال تبدیل کنید و $ \frac{k}{n} $  رو  $x$  بذارین.

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7 (7,053 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7
$$\sum_{k=0}^n\frac{k^n}{n^n}$$ $$=\sum_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\\$$ $$=\sum_{k=0}^n\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(-k-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\exp\left(-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\left(1-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^ 4}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}k^2e^{-k}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\\$$ $$=\frac{e}{e-1}-\frac{1}{2n}\frac{e(e+1)}{(e-1)^3}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

در چند مرحله استفاده شده از:

$$\sum_{k=n}^\infty e^{-k}k^m=O(e^{-n}n^m)$$
+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (1,960 امتیاز)

در واقع می خواهیم حاصل حد زیر را بدست آوریم : $$lim_{n\to \infty}\ \frac{1^n+2^n+...+n^n}{n^n}$$ برای بدست آوردن حاصل حد بالا جملات صورت را از آخر به ابتدا بازنویسی می کنیم : $$lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n+(n-1)^n+(n-2)^n+...+2^n+1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n}{n^n}+\frac{(n-1)^n}{n^n}+\frac{(n-2)^n}{n^n}+...+\frac{2^n}{n^n}+\frac{1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ (1-\frac{0}{n})^n+(1-\frac{1}{n})^n+(1-\frac{2}{n})^n+...+(1-\frac{n-1}{n})^n$$ $$=lim_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=0}^{n-1}(1-\frac{k}{n})^n$$ $$=lim_{m\to \infty}(lim_{n\to \infty}\sum \limits_ {k=0}^{m-1}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}e^{-k})$$ $$=\sum \limits_ {k=0}^{\infty}e^{-k}$$ $$=\frac{e}{e-1}$$ توجه : در بالا از این نکته استفاده کردیم که : $$lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n=e^{-k}$$

توسط kazomano (2,117 امتیاز)
@ کیوان عباس زاده
یه سوال داشتم.جای حد و سیگما رو چه طور عوض کردی؟کی مجاز به اینکار هستیم؟
توسط کیوان عباس زاده (1,960 امتیاز)
اگر در یک مجموع حد هر جمله موجود باشد آنگاه حد مجموع برابر است با مجموع حد جملات .
توسط kazomano (2,117 امتیاز)
@ کیوان عباس زاده
حتی برای تعداد نامتناهی؟
برای نامتناهی به راحتی مثال نقض موجوده
توسط کیوان عباس زاده (1,960 امتیاز)
برای تعداد متناهی . در مثال بالا هم تعداد جملات متناهی است. برای تعداد نامتناهی که بی نهایت مثال نقض وجود دارد مثلا سری ریمان.
توسط kazomano (2,117 امتیاز)
وقتی m به سمت بی نهایت داره میره پس تعداد نامتناهیه.
+1 امتیاز
توسط kazomano (2,117 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
$ \sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^m ( \frac{m-k}{m} )^{m}= \sum_0^m (1- \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^ \infty u_{m} (k) $

که برای ,...,m=1,2 داریم

$ u_{m} (k)=\begin{cases} (1- \frac{k}{m} )^{m} & if 0 \leq k \leq m\\0 & if m \leq k\end{cases} $

از طرفی بنا به نامساوی واسطه ها داریم اگر $1 \leq k \leq m$ $ \sqrt[m+1]{ (1- \frac{k}{m} )^{m}.1 } \leq \frac{m(1- \frac{k}{m} )+1}{m+1}=1- \frac{k}{m+1} $


از اینرو برای $k \geq 0$ $0 \leq u_{m} (k) \leq u_{m+1}(k) m=1,2,... $ $ \lim_{m \rightarrow \infty } u_{m} (k)= e^{-k} k=0,1,2,... $ پس دنباله $m \rightarrow u_{m} (k)$ به $e^{-k}$ صعود می کند. پس چون$0 \leq u_{m} (k) \leq e^{-k} $ اگر $1 \leq n \leq m$ داریم $ \sum_0^n u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty e^{-k}= \frac{e}{e-1} $


پس دنباله $m \rightarrow \sum_0^ \infty u_{m} (k)$ همگراست. حال n را ثابت در نظر می گیریم و از طرفین نامساوی قبلی حد می گیریم وقتی $m \rightarrow \infty $داریم $ \sum_0^n e^{-k} \leq \lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \frac{e}{e-1} $


حال n را به بی نهایت میل می دهیم نتیجه می گیریم که $ \lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m}= \frac{e}{e-1} $


این اثبات از مقاله FINBARR HOLLAND برداشته شده است. همچنین این حد به حد ولستونهلم معروفه.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...