به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
267 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
ویرایش شده توسط saderi7

حاصل حد زیر را بدست بیاورید ؟ با تشکر $$ \lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$$

توسط jafar
این رو به انتگرال تبدیل کنید و $ \frac{k}{n} $  رو  $x$  بذارین.

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7
$$\sum_{k=0}^n\frac{k^n}{n^n}$$ $$=\sum_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\\$$ $$=\sum_{k=0}^n\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(-k-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\exp\left(-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\left(1-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^ 4}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\$$ $$=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}k^2e^{-k}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\\$$ $$=\frac{e}{e-1}-\frac{1}{2n}\frac{e(e+1)}{(e-1)^3}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

در چند مرحله استفاده شده از:

$$\sum_{k=n}^\infty e^{-k}k^m=O(e^{-n}n^m)$$
+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده

در واقع می خواهیم حاصل حد زیر را بدست آوریم : $$lim_{n\to \infty}\ \frac{1^n+2^n+...+n^n}{n^n}$$ برای بدست آوردن حاصل حد بالا جملات صورت را از آخر به ابتدا بازنویسی می کنیم : $$lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n+(n-1)^n+(n-2)^n+...+2^n+1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ \frac{n^n}{n^n}+\frac{(n-1)^n}{n^n}+\frac{(n-2)^n}{n^n}+...+\frac{2^n}{n^n}+\frac{1^n}{n^n}$$ $$= lim_{n\to \infty}\ (1-\frac{0}{n})^n+(1-\frac{1}{n})^n+(1-\frac{2}{n})^n+...+(1-\frac{n-1}{n})^n$$ $$=lim_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=0}^{n-1}(1-\frac{k}{n})^n$$ $$=lim_{m\to \infty}(lim_{n\to \infty}\sum \limits_ {k=0}^{m-1}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n)$$ $$=lim_{m\to \infty}(\sum \limits_ {k=0}^{m-1}e^{-k})$$ $$=\sum \limits_ {k=0}^{\infty}e^{-k}$$ $$=\frac{e}{e-1}$$ توجه : در بالا از این نکته استفاده کردیم که : $$lim_{n\to \infty}(1-\frac{k}{n})^n=e^{-k}$$

توسط kazomano
@ کیوان عباس زاده
یه سوال داشتم.جای حد و سیگما رو چه طور عوض کردی؟کی مجاز به اینکار هستیم؟
توسط کیوان عباس زاده
اگر در یک مجموع حد هر جمله موجود باشد آنگاه حد مجموع برابر است با مجموع حد جملات .
توسط kazomano
@ کیوان عباس زاده
حتی برای تعداد نامتناهی؟
برای نامتناهی به راحتی مثال نقض موجوده
توسط کیوان عباس زاده
برای تعداد متناهی . در مثال بالا هم تعداد جملات متناهی است. برای تعداد نامتناهی که بی نهایت مثال نقض وجود دارد مثلا سری ریمان.
توسط kazomano
وقتی m به سمت بی نهایت داره میره پس تعداد نامتناهیه.
+1 امتیاز
توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina
$ \sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^m ( \frac{m-k}{m} )^{m}= \sum_0^m (1- \frac{k}{m} )^{m} = \sum_0^ \infty u_{m} (k) $

که برای ,...,m=1,2 داریم

$ u_{m} (k)=\begin{cases} (1- \frac{k}{m} )^{m} & if 0 \leq k \leq m\\0 & if m \leq k\end{cases} $

از طرفی بنا به نامساوی واسطه ها داریم اگر $1 \leq k \leq m$ $ \sqrt[m+1]{ (1- \frac{k}{m} )^{m}.1 } \leq \frac{m(1- \frac{k}{m} )+1}{m+1}=1- \frac{k}{m+1} $


از اینرو برای $k \geq 0$ $0 \leq u_{m} (k) \leq u_{m+1}(k) m=1,2,... $ $ \lim_{m \rightarrow \infty } u_{m} (k)= e^{-k} k=0,1,2,... $ پس دنباله $m \rightarrow u_{m} (k)$ به $e^{-k}$ صعود می کند. پس چون$0 \leq u_{m} (k) \leq e^{-k} $ اگر $1 \leq n \leq m$ داریم $ \sum_0^n u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \sum_0^ \infty e^{-k}= \frac{e}{e-1} $


پس دنباله $m \rightarrow \sum_0^ \infty u_{m} (k)$ همگراست. حال n را ثابت در نظر می گیریم و از طرفین نامساوی قبلی حد می گیریم وقتی $m \rightarrow \infty $داریم $ \sum_0^n e^{-k} \leq \lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^ \infty u_{m} (k) \leq \frac{e}{e-1} $


حال n را به بی نهایت میل می دهیم نتیجه می گیریم که $ \lim_{m \rightarrow \infty } \sum_0^m ( \frac{k}{m} )^{m}= \frac{e}{e-1} $


این اثبات از مقاله FINBARR HOLLAND برداشته شده است. همچنین این حد به حد ولستونهلم معروفه.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...