به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
100 بازدید
در دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط amirm20

معادله تابعی زیر رو در نظر بگیرید :

$$f(xy)=f(x)+f(y)$$

$f:R- {0} \rightarrow R$

حال تابع بالا را در فرض کنید که در معادله صدق میکند . با اینحال :تابع$ f$چه ویژگی هایی دارد؟

و اینکه فرض کنید اصلا تابع لگاریتم رو نمیشناسیم !!:)

توسط fardina
دامنه و برد را تعیین نکردید. منفی دادم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اولا که تابع $f:\mathbb R\to \mathbb R$ با چنین شرایطی نمی توان تعریف کرد چرا که اگر $0$ عضوی از دامنه باشد در اینصورت $f=0$ . (چرا؟)

فرض کنید $f:\mathbb R^{>0}\to \mathbb R$ تابعی باشد که در شرط مساله صدق کنید. در اینصورت می توان نشان داد که

  • $f(x^n)=nf(x)$
  • $f(x^{\frac mn})=\frac mn f(x)$

حال اگر شرط پیوستگی را نیز اضافه کنیم داریم

  • به ازای هر $r\in \mathbb R$ و $x\in\mathbb R^{>0}$ داریم $f(x^r)=rf(x)$

چنانچه شرط مشتقپذیری را نیز اضافه کنیم در اینصورت با مشتق گیری نسبت به $x$ داریم $yf'(xy)=f'(x)$

قرار دهید $x=1$ داریم $yf'(y)=f'(1)$ یا $f'(y)=\frac{f'(1)}y$ با انتگرال گیزی داریم $$f(x)=\int_1^x \frac{f'(1)}tdt=f'(1)\ln x$$

توجه کنید که $f'(1)=0$ .

توسط fardina
فکر کنم این مطلب رو از کتاب استراژی های حل مساله گرفته باشم.
توسط amirm20
@fardina
سوالمو ویرایش کردم . تا موضوع کامل بشه .
ممنون میشم جوابتون رو جامع کنید . یعنی دامنه منفی هم در نظر بگیرید.
توسط fardina
@amirm20
فکر کنم اگر $x>0$ در اینصورت $f(-x)=f(x)$ لذا کافی است فقط برای $x>0 $ در نظر بگیریم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...