به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
206 بازدید
در دانشگاه توسط nazari66
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنیم $ s_n $ به s میل کند با متر هاسدورف ، و هردو متعلق به مجموعه های فشرده باشند .اگر مجوعه ی K را به صورت زیر تعریف کنیم: $$ k= \bigcup_{i=1}^ \infty s_n \bigcup S $$ در اینصورت چرا K نیز فشرده است؟

توسط کیوان عباس زاده
کدام دو مجموعه ؟!
توسط کیوان عباس زاده
?=S . خواهشا سوالتان را واضح تر بیان کنید .
توسط nazari66
S یک مجموعه ی فشرده است یعنی عضو K(X) است.البته میدونیم که اجتماع متناهی مجموعه های فشرده،فشرده است اما این اجتماع نامتناهی است.
توسط nazari66
لطفا کمکم کنید.
توسط fardina
این سوال از کدوم کتاب هست؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اگر $(M,d)$ یک فضای متریک و $X, Y\subset M$ در اینصورت تعریف می کنیم $$d(x,Y)=\inf\{d(x,y):y\in Y\}$$ و $$\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$$

به عبارت دیگر: $$\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)$$

فاصله هاسدورف به صورت زیر تعریف میشود:

$$\begin{align}d_H(X, Y)&=\max\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y), \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)\}\\ &=\max\{\tau(X,Y),\tau(Y,X)\}\end{align}$$

برای هر $\epsilon>0$ تعریف می کنیم $$X_\epsilon =\bigcup_{x\in X}\{z\in M: d(z,x)\leq \epsilon\}$$

به عبارت دیگر $$X_\epsilon =\{z\in M: d(z,x)\leq \epsilon \text{ for some }x\in X\}$$

اما از طرفی $d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}$ لذا تعریف بالا را می توان به صورت ساده تر زیر نوشت: $$X_\epsilon =\{z\in M: d(z,X)\leq \epsilon\}$$

در این صورت می توانید موارد زیر را بررسی کنید:

  • اگر $\tau(X,Y)< \epsilon$ در اینصورت $X\subset Y_\epsilon$
  • اگر $X\subset Y_\epsilon$ در اینصورت $\tau(X,Y)\leq \epsilon$

لذا $$\tau(X,Y)\leq \epsilon \iff X\subset Y_\epsilon$$


فرض کنید $\{G_\alpha\}$ یک پوشش باز از $\cup S_n\cup S$ باشد. چون یک پوشش از مجموعه فشرده $S$ است لذا یک زیر پوشش متناهی $\{G_{\alpha_i}\}_{i=1}^n$ از $S$ وجود دارد. اگر قرار دهید $G=\bigcup_1^n G_{\alpha_i}$ اگر $\epsilon>0$ را طوری بگیرید که $S_\epsilon \subset G$ (چرا می توانیم همچین $\epsilon>0$ را انتخاب کنیم. در واقع شما باید تا اینجا رو انجام میدادید و این سوال رو می پرسیدید که این اپسیلون رو چی بگیرم. من فعلا این رو برای خودتون میذارم که روش فکر کنید)

در اینصورت چون $S_n\to S$ در متریک هاسدورف پس $N$ ی هست که برای $n\geq N$ داریم $d_H(S_n, S)\leq \epsilon$ مخصوصا $\tau(S_n, S)\leq \epsilon$ بنابراین برای $n\geq N$ داریم $S_n\subset S_\epsilon\subset G$

چون $\cup_1^{N-1}S_n$ هم فشرده است و $\{G_\alpha\}$ یک پوشش باز برای آن لذا یک زیر پوشش متناهی مثل $G_{\alpha_{n+1}},...,G_{\alpha_{n+k}}$ برای آن وجود دارد در اینصورت زیر پوشش متناهی $G_{\alpha_1},...., G_{\alpha_n},G_{\alpha_{n+1}},...,G_{\alpha_{n+k}}$ را پیدا کردیم پس فشرده است.

توسط nazari66
از یه مقاله ست .پیوستگی عملگر هاچینسون
توسط N
البته میشه به راحتی دید هر دنباله فضا یک زیر دنباله همگرا دارد و این حکم رو نتیجه میدهد.
توسط fardina
@N
متوجه نشدم! لطفا بیشتر توضیح بدید.
اینجا $S_n, S$ ها مجموعه هستن.
توسط N
برای نشون دادن فشردگی کافیه نشون بدیم هر دنباله از مجموعه مورد نظر یک زیر دباله همگرا دارد.
این کارم به سادگی قابل بررسی هست اگه یک دنباله از مجموعه مفروض انتخاب کنبد یا یک زیر دنباله از دنباله S_n دارد یا شامل زیر دنباله ثابت S  خواهد بود که در هر دوصورت زیر دنباله ها همگرا هستند.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...