به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
70 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Ffffff

✓لم ریس بیان میکند که اگر X یک فضای برداری نرمدار و M یک زیر فضای بسته و سره از آن باشد در اینصورت برای هر r که بین صفر و یک است عنصری مانند x در X موجود است که فاصله x تا M بزرگتر مساوی r است، حالا من میدانم اگر زیر فضای ما متناهی البعد باشد لم ریس به ازای r مساوی یک یرقرار است ،اما لطفا در اثباتش به من کمک کنید ،

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید که $x\in X\setminus Y$ چون $ Y $ بسته است پس $$d=d(x,Y)=\inf\{\|x-y\}:y\in Y\}>0$$

(چون در غیر اینصورت دنباله ی $y_n$ وجود دارد که $\|x-y_n\|\to 0$ لذا $y_n\to x$ و چون $Y$ بسته است لذا $x\in Y$ که تناقض است.)

چون $Y$ متناهی بعد است پس عنصر $x_0\in Y$ وجود دارد که $d=d(x,Y)=\|x-x_0\|$

(این مطلب نیاز به اثبات دارد. در آخر اثبات می کنیم.)

در اینصورت قرار دهید $ x_1=\frac {x-x_0}{\|x,-x_0\|}=\frac{x-x_0}{d} $ در اینصورت $\|x_1\|=1$ و برای هر $y\in Y$ داریم $$\|x_1-y\|=\frac 1d\| x-x_0-dy\|=\frac 1d\|x-(x_0+dy)\|\geq \frac 1d\times d=1$$ توجه کنید که از این مطلب استفاده کردیم که $(x_0+dy)\in Y$ و تعریف $d$ را به خاطر بیاورید.

بنابراین $d(x_1, Y)\geq 1$

از طرفی $\|x_1-0\|=1$و $0\in Y$ لذا $ d(x_1, Y)=1$ .


اما اثبات مطلبی که بدون اثبات پذیرفتیم:

قرار دهید $r=d+\|x\|+1$ در اینصورت $$S=\{y\in Y: \|y\|\leq r\}$$ یک مجموعه بسته و کراندار است لذا از متناهی بودن بعد $Y$ فشردگی $S$ نتیجه می شود. اما تابع $f(x)=\|x-y\|$ روی $Y$ پیوسته است و چون $S\subset Y$ فشرده است پس مینیمم خود را روی $S$ اختیار میکند یعنی $x_0\in S$ موجود است که $\|x-x_0\|=\inf\{\|x-y\|:y\in S\}$

اما بنابر تعریف $\inf$ یک $y_1\in Y$ وجود دارد که $\|x-y_1\|< d+1$ و لذا $$\|y_1\|\leq \|y_1-x\|+\|x\|\leq d+1+\|x\|=r$$

بنابراین $y_1\in S$ و لذا $\|x-x_0\|\leq \|x-y_1\|\leq d+1\tag{*}$

فرض کنید $y\in Y$ دو حالت داریم:

حالت اول: اگر $y\notin S $ در اینصورت $$\|x\|+d+1=r< \|y\|\leq \|y-x\|+\|x\|$$ با ترکیب این با * نتیجه می شود $$\|x-x_0\|\leq d+1\leq \|x-y\|$$

حالت دوم: $y\in S$ در اینصورت $$\|x-x-0\|\leq \|x-y\|$$

پس به ازای هر $y\in Y$ داریم $\|x-x_0\|\leq \|x-y\|$ لذا $$d=\|x-x_0\|$$ .

منبع: کتاب ntext book of functional analysis by Krishna

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...