به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
372 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط kolge

enter image description here

مرجع: سمپاد 95

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

مرکز دایرهٔ سمت چپ را $O_1$ و مرکز دایرهٔ سمت راست را $O_2$ بنامید.

نکته‌ای که برای این پرسش مدّنظر بوده‌است این است که کوتاهترین مسیر در هندسهٔ اقلیدسی بین یک نقطه تا مرز یک دایره، پاره‌خطی است که بر محیط دایره عمود باشد که هم‌ارز با این است که امتداد شعاعی از دایره باشد که بر روی خط واصل مرکز دایره و آن نقطه قرار دارد.

چون می‌خواهیم کمترین مسافت را زیر سایه‌بان‌ها یا همان چادرها بپیماییم پس باید کمترین مسافت را از نقطهٔ A تا دایرهٔ چپ و سپس کمترین مسافت را از دایرهٔ چپ به دایرهٔ راست و سپس کمترین مسافت از دایرهٔ راست تا نقطهٔ B را برگزینیم.

با توجه به نگته کوتاهترین مسافت بین A و دایرهٔ چپ پاره‌خطی است که در تصویر پائین با رنگ آبی کشیده‌ایم که بر روی پاره‌خط $AO_1$ نشان داده‌ایم. کل $AO_1$ با کمک قانون بابلیان (فیثاغورث) برابر است با $\sqrt{3^2+4^2}$ قسمتی از این پاره‌خط که درون دایره قرار دارد دقیقاً یک شعاع از این دایره است پس مسافت خارج از آن برابر است با $5-2=3$. اکنون قسمت آبی‌رنگ دوم. این پاره‌خط برابر با پاره‌خط $O_1O_2$ منهای دو شعاع، یکی از دایرهٔ چپ و یکی از دایرهٔ راست. پس دارازای این مسافت برابر است با $\sqrt{(7-3)^2+(7-4)^2}-2-1=2$ و اما قسمت پایانی که برابر است با $O_2B$ منهای یک شعاع از دایرهٔ راست. یعنی $\sqrt{(9-7)^2+(8-7)^2}-1=\sqrt{5}-1$.

پس در کل جمع درازای سه مسافت آبی که برابر کمترین مسافت ممکن زیر باران است می‌شود؛ $3+2+\sqrt{5}-1=4+\sqrt{5}$.

گزینهٔ الف. enter image description here

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...