به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
173 بازدید
در دانشگاه توسط sahar3
ویرایش شده توسط AmirHosein

تعریف میکنیم :

فرض کنیم $ A $ مجموعه و $n$ عدد طبیعی و صفر است.

هر تابع $$ \lambda ^{n} : A^{n} \longrightarrow A $$

را یک عمل$n$ تایی روی $ A $ مینامیم.

حال اگر مجموعه $A$ تهی باشد چی ؟ ایا قابل قبوله و اینکه چه معنی رو میرسونه؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط farhad
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

اگر $A= \emptyset $ آن گاه با توجه به این که $ \emptyset ^{n}= \emptyset $ پس $ \lambda ^{n}: \emptyset \rightarrow \emptyset $ تابعی خالی از اعضای دامنه و برد است پس عضوی وجود ندارد که عمل $ \lambda ^{n} $ بر آن صورت گیرد. پس $ A $ را غیر تهی در نظر می گیرند. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ثابت کنیم برای هر مجموعه دلخواه مثل $X$ ، $ \emptyset \times X= \emptyset $ که در این صورت نتیجه می گیریم:

$$ \emptyset ^{n}= \emptyset \times \emptyset ^{n-1} = \emptyset $$

اثبات: فرض می کنیم $ \emptyset \times X$ غیر تهی است پس $x,y$ وجود دارند به طوری که $ (x,y) \in \emptyset \times X $ پس $x \in \emptyset $ که تناقض است بنابراین مجموعه $ \emptyset \times X$ نمی تواند غیر تهی باشد پس تهی است.

توسط AmirHosein
@farhad پاسختان کاملا درست است به جز قسمت «پس $A$ را ناتهی می‌گیرند» که نه اینکه نادرست باشد بلکه ممکن است این ابهام را ایجاد کند که اگر این شرط را در تعریف نیاوریم، تعریف اشتباه است. آوردن این شرط در تعریف نیاز نیست چون همان‌گونه که اشاره کردید در حالت تهی بودن این مجموعه نگاشتی نیست که بخواهد چیزی به مجموعهٔ عمل‌های $n$-تایی بیفزاید یا بکاهد. بنابراین افزودن آن به تعریف تغییری ایجاد نخواهد کرد. به هر حال پاسختان زیبا بود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...