به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
110 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90

اگر H یک p-سیلو زیرگروه از گروه متناهی G باشد و K زیرگروهی از G، آیا $H \bigcap K $ یک p-سیلو زیرگروه از K است؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

پاسخ پرسش شما منفی است.

پیش از دادن مثال نقض. کمی با p-زیرگروه‌های سیلو بیشتر آشنا می‌شویم.

G را یک گروه متناهی بردارید یعنی متناهی عنصر داشته باشد. عدد اصلی این گروه یک عدد طبیعی است و به ازای هر عدد اول p می‌توانید عدد حسابیِ a (اعداد حسابی که با $\mathbb{I}$ و یا $\mathbb{W}$ نمایش می‌دهند مجموعهٔ اعداد طبیعی‌است که عنصر صفر به آن افزوده شده‌است) و عدد طبیعی m یکتایی بیابید که عدد اصلی گروهمان برابر شود با $p^am$ گه $p\nmid m $. هر زیرگروه از G که عدد اصلی‌اش (تعداد عناصرش) توانی نابدیهی از p باشد (یک توان صفر p است که آن‌را نمی‌خواهیم) را یک p-زیرگروه از G می‌نامیم. اگر این توان بیشینه مقدار ممکن باشد، این زیرگروه را p-زیرگروه سیلوی G می‌نامیم. قضیهٔ سیلو سه بخش دارد یا برخی هر بخش را یک قضیه معرفی می‌کنند. بخش یکم می‌گوید که این بیشترین توان ممکن همیشه توان p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است. برخی برعکس مسیر را طی می‌کنند که ممکن است روش ما را آمدن از طرف مخالف بدانند ولی نتیجه یکسان است. یعنی آنها می‌گویند p-زیرگروه سیلو p-زیرگروهی است که عدد اصلی‌اش دقیقا توان آمده از p در تجزیهٔ عدد اصلی گروه است و سپس می‌گویند که بخش یکم قضیهٔ سیلو می‌گوید چنین زیرگروهی همیشه وجود دارد. این دو دیدگاه هم‌ارز هستند.

بخش دوم رابطهٔ p-زیرگروه‌ها و p-زیرگروه‌های سیلو را بررسی می‌کند. و بخش سوم پیرامون تعداد p-زیرگروه‌های سیلو صحبت می‌کند.

اکنون به پرسش شما برگردیم. فرض‌هایمان را اینگونه مرور کنیم؛

یک گروه متناهی به نام G داریم که $|G|=p^am$ که $p\nmid m$.

یک p-زیرگروه سیلو از آن مانند P برمی‌داریم پس $|P|=p^a$.

یک زیرگروه دلخواه از G مانند H بدون داشتن هیچ فرضی برمی‌داریم. بنا به قضیهٔ لاگرانژ داریم که عدد اصلی آن عدد اصلی گروه را می‌شمارد پس $|H|=p^bn$ که $b\leq a$ و $p\nmid n$ و $n|m$.

اکنون پرسش این است آیا $H\cap P$، p-زیرگروه سیلویی برای $H$ می‌شود؟

دوباره از قضیهٔ لاگرانژ و اینکه اشتراک دو گروه، زیرگروه هر دو می‌شود داریم؛ $$\begin{array}{l}H\cap P\leq H\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^bn\\ H\cap P\leq P\Longrightarrow|H\cap P|\,|\,p^a\end{array}$$ از این دو تنها می‌توان نتیجه گرفت که $|H\cap P|=p^c$، یعنی شما بیشترین چیزی که با این عمومیت فرض‌ها می‌توانید بگویید این است که $H\cap P$ در حالتی که بدیهی نشود یک p-زیرگروه از $H$ یا حتی خود $G$ می‌شود.

اکنون مثال نقض برای اینکه $c$ ممکن است برابر با $b$ نشود.

ساده‌ترین مثال نقض. گروه G را $S_3$ بردارید. سه تا دو زیرگروه سیلو دارد. یکی از آنها مانند $\langle (1\;2)\rangle$ را در نقش P بردارید. برای زیرگروه H، گروه $\langle (1\;3)\rangle$ را بردارید. H یک دو زیرگروه سیلو دارد و آن نیز خودش است. ولی توجه کنید که $P\cap H=(1)$ و گروه تک‌عضوی همانی است که دو زیرگروه سیلوی H نمی‌باشد. برای نمونه در حالتی که اشتراک بدیهی نشود می‌توانید به گروه‌های از عدد اصلی بالاتر مراجعه کنید.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...