به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
65 بازدید
در دانشگاه توسط m722
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

نشان دهید که تعداد کسرهای تحویل ناپذیر $\frac{a}{b}$ که $0 < \frac{a}{b} \leq 1$ و $1 \leq a,b \leq n$ برابر است با : $$ \varphi(1) + \varphi(2) +...+ \varphi(n) $$

توسط fardina
منفی برای عنوان نامناسب و ننوشتن تلاشتون برای حل

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده

کسر $0 < \frac{a}{b} \leq 1$ زمانی تحویل ناپذیر است که $1 \leq a \leq b$ و $gcd(a,\ b)=1$ یعنی $ a,b $ نسبت به هم اول باشند . حال فرض کنید $b$ عددی ثابت است که $1 \leq b \leq n$ . تعداد اعداد طبیعی $a$ که $a \leq b$ و $ gcd(a,\ b)=1 $ برابر است با $ \varphi (b)$ . پس تعداد کسر های تحویل ناپذیر $\frac{a}{b}$ که $0 < \frac{a}{b} \leq 1$ برابر است با $ \varphi (b)$ . حال چون $1 \leq b \leq n$ در نتیجه تعداد چنین کسرهایی طبق اصل جمع برابر است با : $$\varphi(1) + \varphi(2) +...+ \varphi(n)$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...