به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
106 بازدید
در دبیرستان توسط amirpirmoradian94 (30 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

سلام. این تست رو لطفا جواب بدید.و برای جواب های غلط مثال نقض بیارید.توی جزوه ام جواب گرینه 2.ولی هر چی سعی میکنم برا بقیش مثال نقض بیارم نمیتونم.لطفا کمک کنید.ممنون

اگر$ \alpha $ گنگ باشد،کدام گزینه همواره گنگ است؟

1)$ \frac{1}{2} \alpha + \alpha ^{2} $

2)$ \frac{ \alpha + 2}{ \alpha - 1} $

3)$ \alpha ^{3} + 1$

4)$ (2 \alpha +1)^{2} $

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط erfanm (12,604 امتیاز)
انتخاب شده توسط amirpirmoradian94
 
بهترین پاسخ

برای گزینه 1 کافیه $ \alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4} $ را در نظر بگیرید حاصل میشه $$( \frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{1}{8})+(2- \frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{1}{16})=2-\frac{1}{16}$$ که گویا است.

نحوه ی بدست آمدن $ \alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4} $:

اگر عبارت گزینه ی 1 را مربع کامل کنیم داریم: $$ \frac{ \alpha }{2} + \alpha ^{2}=( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2} - \frac{1}{16} $$

حال کافیست کاری کنیم که $( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2}$ گویا شود. و چون توان 2 دارد کافیست عبارت $\alpha + \frac{1}{4}$ به صورت $ \sqrt{b} $ باشد تا زمانی که به توان می رسد عبارت برابر $ b $ شود. برای راحتی کار از $ b=2$ استفاده کردم.

برای گزینه 3: قرار دهید $ \alpha = \sqrt[3]{2} $ آنگاه حاصل برابر است با $2+1=3$

برای گزینه ی 4 کافیه $2 \alpha +1$ را برابر $ \sqrt{2} $ بگیریم تا زمانی که به توان می رسد گویا شود. یعنی باید قرار دهیم: $ \alpha = \frac{ \sqrt{2} -1}{2} $

برای اثبات درست بودن گزینه ی دو داریم: $$ \frac{ \alpha +2}{ \alpha -1} =\frac{ \alpha -1+1+2}{ \alpha -1}=\frac{ \alpha -1}{ \alpha -1}+\frac{3}{ \alpha -1}=1+\frac{3}{ \alpha -1}$$ از آنجایی که $ \alpha -1$ گنگ است لذا معکوس آن نیز گنگ است. و با ضرب و جمع شدن با عددی گویا باز گنگ می ماند.

توسط amirpirmoradian94 (30 امتیاز)
erfanm@
بسیار ممنونم الان روش پیدا کردن مقال نقض رو هم یاد گرفتم متشکرم
توسط erfanm (12,604 امتیاز)
خواهش میکنم موفق باشید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...