به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
119 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

ثابت کنید

$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2} )^{n}= \sqrt{ab} $

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

تابع $f(x)= a^{x} $ را در نظر می گیریم آن گاه $ f'(x)=a^{x}loga$و $ f'(0)=loga$ بنابراین داریم


$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{f( \frac{1}{n} )-f(0)}{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \rightarrow b} n( \sqrt[n]{a} -1)=loga$

حال قرار می دهیم $ x_{n} =n[ \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2} -1]= \frac{1}{2} [n (\sqrt[n]{a} -1)+n( \sqrt[n]{b} -1)$


بدیهی است که $ x_{n} \rightarrow \frac{1}{2} (loga+logb)=log \sqrt{ab} $بنابراین با توجه به اینکه $ \frac{ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} }{2}=1+ \frac{ x_{n} }{n} $ داریم


$ [1+ \frac{ x_{n} }{n}] ^{n}= \lbrace [1+ \frac{ x_{n} }{n} ]^{ \frac{n}{ x_{n} } } \rbrace ^{ x_{n} } \rightarrow e^{log \sqrt{ab} } = \sqrt{ab} $
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...