به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
243 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Neseli
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a^{2} + b^{2} +ab= b-a-1$ ثابت کنید $a^{101} + b^{101} =0$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
لطفا عنوان مناسب انتخاب کنید. فکر نکنم "اثبات کنید" عنوان خوبی باشه. و در ضمن تلاش خودتونو در مورد مساله بنویسید.

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط Neseli
 
بهترین پاسخ

با توجه به فرض مساله داریم $$(a+b)^2=(a+1)(b-1)$$

اما از نامساوی $xy\leq (\frac {x+y}2)^2$ که برای هر $x,y$ حقیقی برقرار است داریم:

$$(a+b)^2\leq \left(\frac{(a+1)+(b-1)}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}$$

که این فقط وقتی درست است که $a+b=0$ یعنی $a=-b$ .

و اگر در معادله بالا $a=-b$ را جایگذاری کنیم به دست می آوریم: $a=-1,b=1$

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
نمایش از نو توسط fardina
+1
چرا برای $a$ و $b$ مقدار بدست آورده‌اید؟ پس از جایگذاری $a=-b$ در $a^{101}+b^{101}$ به صفر می‌رسید که اثبات را کامل می‌کند.
دارای دیدگاه توسط fardina
@AmirHosein
راستش اولش تا اینجا نوشتم که $a=-b$
بعدش خواستم بگم که روش منم a و b رو به دست میده دیگه ویرایش کردم و اضافه کردم :)
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
@fardina بلی، دقیقا چند ثانیه پس از نوشتن دیدگاهم متوجه شدم که آن‌را مخفی کردم ههههه
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط farhad

در این مسأله شرط حقیقی بودن اعداد $a$ و $b$ لازم است چون در ادامه ثابت می کنیم که این گزاره برای اعداد مختلط همیشه درست نیست. پس فرض می کنیم $a,b \in R$ هستند. داریم:

$$ a^{2}+ b^{2}+ab=b-a-1\,\, \rightarrow$$ $$ a^{2}+ b^{2}+ab-b+a+1=0\,\, \rightarrow$$ $$ a^{2}+(b+1)a+b^{2}-b+1=0\,\, \rightarrow$$ $$ a= \frac{-(b+1) \pm \sqrt{ b^{2}+2b+1-4b^{2}+4b-4 } }{2} \,\, \rightarrow$$ $$ a= \frac{-(b+1) \pm |b-1|i\sqrt{3} }{2} \,\, \rightarrow$$ $$ b-1=0 \,\, \rightarrow \,\,b=1\,\, \rightarrow \,\,a=-1 $$ پس:

$$ a^{101}+ b^{101}=-1+1=0 $$

پس اگر $a,b$ اعداد حقیقی باشند، گزاره برقرار است.

ثابت می کنیم، گزاره برای هر عدد (مجموعه اعداد مختلط) همیشه برقرار نیست. فرض می کنیم$\,\,b=0\,\,$ پس $\,\,a= \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2}\,\, $ که در این صورت داریم:

$$ a^{101}+ b^{101}= ( \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2})^{101}+ 0 $$

و عبارت سمت چپ در تساوی بالا وقتی برابر صفر است که $ \pm i \sqrt{3}=1 $ که تناقض است.

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us

enter image description here

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...