به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
194 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

ثابت کنید چنانچه $f:[a,b] \to \mathbb R$ یک به یک و دارای خاصیت مقدار میانی باشد آنگاه اکیدا یکنواست.

خاصیت مقدار میانی: به ازای هر $\lambda$ بین $f(a),f(b)$ یک $c\in (a,b)$ موجود باشد که $f(c)=\lambda$.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنیم اینگونه نباشد.پس باید برای هر $x,y,z$ در دامنه که $x < y< z$ داشته باشیم

$f(x)< f(y),f(y)>f(z)$ یا $ f(x)>f(y),f(y)< f(z) $.نشان می دهیم هر دو حالت به

تناقض منجر می شود.فرض کنیم اولین حالت برقرار باشد دو حالت وجود دارد یا $f(x)>f(z)$ یا

$f(x)< f(z)$.فرض کنیم $f(x)>f(z)$.پس $f(y)< f(x)< f(z)$

و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $t \in [y,z]$ به طوری که

$f(t)=f(x)$.حال چون تابع یک به یک است پس $t=x$ اما

$x< y,t>y$ و این تناقض است. از طرفی به دلیل یک به یک بودن $f(x) \neq f(z)$ پس باید $f(z)>f(x)$ باشد.پس داریم

$f(x)< f(z)< f(y)$ و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $s \in [x,y]$ به

طوری که $f(s)=f(z)$ و به دلیل یک به یک بودن $s=z$ ولی

$z>y$

و $s< y$ و این تناقض است.پس حالت اول رخ نمی دهد.حالت دوم به طور مشابه به تناقض منجر

می شود.این جمیع تناقضات نشان می دهد که تابع اکیدا یکنواست

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...