به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
226 بازدید
در دانشگاه توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید چنانچه $f:[a,b] \to \mathbb R$ یک به یک و دارای خاصیت مقدار میانی باشد آنگاه اکیدا یکنواست.

خاصیت مقدار میانی: به ازای هر $\lambda$ بین $f(a),f(b)$ یک $c\in (a,b)$ موجود باشد که $f(c)=\lambda$.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط kazomano
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنیم اینگونه نباشد.پس باید برای هر $x,y,z$ در دامنه که $x < y< z$ داشته باشیم

$f(x)< f(y),f(y)>f(z)$ یا $ f(x)>f(y),f(y)< f(z) $.نشان می دهیم هر دو حالت به

تناقض منجر می شود.فرض کنیم اولین حالت برقرار باشد دو حالت وجود دارد یا $f(x)>f(z)$ یا

$f(x)< f(z)$.فرض کنیم $f(x)>f(z)$.پس $f(y)< f(x)< f(z)$

و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $t \in [y,z]$ به طوری که

$f(t)=f(x)$.حال چون تابع یک به یک است پس $t=x$ اما

$x< y,t>y$ و این تناقض است. از طرفی به دلیل یک به یک بودن $f(x) \neq f(z)$ پس باید $f(z)>f(x)$ باشد.پس داریم

$f(x)< f(z)< f(y)$ و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $s \in [x,y]$ به

طوری که $f(s)=f(z)$ و به دلیل یک به یک بودن $s=z$ ولی

$z>y$

و $s< y$ و این تناقض است.پس حالت اول رخ نمی دهد.حالت دوم به طور مشابه به تناقض منجر

می شود.این جمیع تناقضات نشان می دهد که تابع اکیدا یکنواست

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...