به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
175 بازدید
در دبیرستان توسط Neseli
ویرایش شده توسط saderi7

اگر $a+b+c=0 $ باشد ثابت کنید: $$(\frac{b-c}{a}+ \frac{c-a}{b} + \frac{a-b}{c})( \frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b})=9$$

توسط fardina
فرض مساله رو در عنوان سوال نوشتید و حکم رو در متن سوال!
لطفا مساله رو به صورت کامل بنویسید.
موشتن سوال به اینصورت اشتباهه. میتونید ویرایش بزنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7

ابتدا دو عبارت رو در هم ضرب میکنیم . و سپس از عامل های مشترک فاکتور میگیریم :

$$\displaystyle \left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right) = \ 3+\frac{b-c}{a}\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)+\frac{c-a}{b}\left(\frac{a}{b-c}+\frac{c}{a-b}\right)+\frac{a-b}{c}\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)$$

حال هر عبارت رو درنظر بگیرید :

$$\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b(a-b)+c(c-a)}{(a-b)(c-a)}\right)$$

و سپس از فرض $a+b+c=0$ کمک میگیریم : $$\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(b-c)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

و همینطور به طور مشابه برای عبارت های دیگر :

$$\dfrac{c-a}{b}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$ $$\dfrac{a-b}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(a-b)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

حال تعریف میکنیم :

$$x=b-c \ \ , \ \ y=c-a \ \ , \ \ z=a-b$$

جایگذاری میکنیم :

$$\displaystyle \left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)=\\ 3+\dfrac{2x^3}{xyz}+\dfrac{2y^3}{xyz}+\dfrac{2z^3}{xyz}=3+\dfrac{2}{xyz}(x^3+y^3+z^3)$$

حال از اتحاد زیر استفاده میکنیم : $$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$$

وهمینطور که از فرض میدانیم :$$x+y+z=0$$

بنابراین اتحاد به صورت زیر حاصل میشود :

$$ x^3+y^3+z^3=3xyz$$

در نتیجه حاصل خواهد بود :

$$3+\dfrac{2}{xyz}(x^3+y^3+z^3)=3+\dfrac{2}{xyz}(3xyz)=9$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...