به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
1,175 بازدید
در دبیرستان توسط Alireza Zamani

مقدار $sin 18$ را به کمک اتحاد های مثلثاتی بیابید.

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط Alireza Zamani

از Taha1381 به خاطر پاسخی که داد تشکر میکنم و از زحمات وی ممنونم.

ولی اخیرا یکی از دوستان من راه حلی پیشنهاد داد که هم جالب است و هم کوتاه . میخواهم این راه حل را اینجا بنویسم چون نوشتن آن خالی از لطف نیست و میتواند برای هر کس مفید باشد.

یادآوری : $$sin (2x) = 2sinxcosx $$ $$cos (3x)=4cos^3x-3cosx$$ $$sin^2x+cos^2x = 1$$

راه حل :

$$sin 36 = cos 54$$ $$sin (2*18) = cos (3*18)$$ $$2sin18cos18 = 4cos^318-3cos18$$

دو طرف را بر $cos18$ تقسیم میکنیم.

$$2sin18 = 4cos^218-3=4(1-sin^218)-3$$ $$2sin18=-4sin^218+1$$ $$ \Longrightarrow 4sin^218+2sin18-1=0 $$

معادله درجه دو را حل کرده که ریشه ها عبارتند از :

$ \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} $ و $ \frac{ -\sqrt{5}-1 }{4} $

اولی قابل قبول است (دومی منفی است) پس :$sin18 = \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} $

+2 امتیاز
توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

توجه داشته باشید که:

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

پس اگر به جای $b$,$a$قرار دهیم داریم:

$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$

داریم:

$sin72=2sin36cos36$

$sin36=2sin18cos18$

دو عبارت بالا را در هم ضرب می کنیم داریم:

$sin72sin36=4sin18cos18sin36cos36$

میدانیم کسینوس هر زاویه با سینوس متمم ان برابر است.پس:

$sin72=cos18$

$cos18sin36=4sin18cos18sin36cos36$

$1=4sin18cos36$

$\frac{1}{2}=2sin18cos36$(1)

می دانیم:

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$

اگر دو رابطه را جمع کنیم داریم:

$2sin(a)cos(b)=sin(a+b)+sin(a-b)$

به جای $a$,۱۸وبه جای $b$,۳۶ را قرار می دهیم داریم:

$sin54-sin18=\frac{1}{2}$

چون سیبنوس زاویه ی ۵۴ درجه برابر کسینوس زاویه ۳۶ درجه می باشد داریم:

$cos36-sin18=\frac{1}{2}$(2)

در حل رابطه ی زیر باید از اتحاد مزدوج استفاده کنیم که می گوید:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

رابطه ی زیر را در نظر بگیرید:

$(cos36+sin18)^2-(cos36-sin18)^2$

برای ساده کردن این رابطه از اتحاد مزدوج استفاده می کنیم:

$(cos36+sin18)^2-(cos36-sin18)^2=2(cos36)2(sin18)=2(2cos36sin18)$

که برای به دست اوردن حاصل این رابطه از رابطه ی (۱)استفاده می کنیم.پس داریم:

$(cos36+sin18)^2-(cos36-sin18)^2=1$

برای به دست اوردن حاصل $cos36-sin18$از رابطه ی (۲)استفاده می کنیم که داریم:

$(cos36+sin18)^2=\frac{5}{4}$

$cos36+sin18=\frac{\sqrt{5}}{2}$(3)

رابطه ی (۲)را از رابطه ی (۳) کم می کنیم داریم:

$2sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

پس داریم:

$sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

توسط Alireza Zamani
+1
Taha1381@
اگه رابطه 2 رو از رابطه 3 کم کنیم ، میشه 2 تا سینوس 18 = رادیکال 5 منهای یک تقسیم بر تو .
لطفا تصحیح کنید.با تشکر از شما...

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...