به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
168 بازدید
در دانشگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $A \subseteq[0,1] $ اندازه پذیر لبگ بوده و دارای اندازه مثبت باشد . ثابت کنید دو نقطه $X,Y \in A$ وجود دارد که $X-Y \in Q$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

یک تمرین کلی تر هست از این قرار:

اگر $ E$ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر و $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $\epsilon>0 $ موجود است که $ E-E=\{x-y:x,y\in E\} $ شامل $[-\varepsilon,\varepsilon] $ (یک فاصله به مرکز صفر) است.

اگه اینو بتونید ثابت کنید واضحه که اون گزاره ای که گفتید ثابت میشه.

در هر صورت راه حل دیگه ای هم برای اثبات مستقیم گزاره شما وجود داره:

فرض کنید $ R=\mathbb Q\cap [0,1]=\{r_1,r_2, r_3,...\} $ اعداد گویای واقع در بازه ی صفر و یک باشد. در اینصورت تعریف می کنیم: $$ A_n=A+r_n=\{a+r_n:a\in A\} $$ در اینصورت حداقل دو تا از این $ A_n$ ها با هم اشتراک دارند. (چرا؟!)

و این مساله شمارا اثبات می کند.

توسط
+1
در صورت امکان در مورد دلیل اینکه  حداقل دو تا از این An ها با هم اشتراک دارند. بیشتر توضیح بدهید ممنون
توسط fardina
اگر همه آنها دو به دو مجزا باشند آنگاه $m(\cup A_n)=\sum_1^\infty m(A_n)=\sum_1^\infty m(A)=\infty$
در حالیکه $\cup A_n\subset [0,2]$.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...