به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
212 بازدید
در دانشگاه توسط janmohammadiali (241 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $A \subseteq[0,1] $ اندازه پذیر لبگ بوده و دارای اندازه مثبت باشد . ثابت کنید دو نقطه $X,Y \in A$ وجود دارد که $X-Y \in Q$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (15,713 امتیاز)

یک تمرین کلی تر هست از این قرار:

اگر $ E$ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر و $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $\epsilon>0 $ موجود است که $ E-E=\{x-y:x,y\in E\} $ شامل $[-\varepsilon,\varepsilon] $ (یک فاصله به مرکز صفر) است.

اگه اینو بتونید ثابت کنید واضحه که اون گزاره ای که گفتید ثابت میشه.

در هر صورت راه حل دیگه ای هم برای اثبات مستقیم گزاره شما وجود داره:

فرض کنید $ R=\mathbb Q\cap [0,1]=\{r_1,r_2, r_3,...\} $ اعداد گویای واقع در بازه ی صفر و یک باشد. در اینصورت تعریف می کنیم: $$ A_n=A+r_n=\{a+r_n:a\in A\} $$ در اینصورت حداقل دو تا از این $ A_n$ ها با هم اشتراک دارند. (چرا؟!)

و این مساله شمارا اثبات می کند.

توسط
+1
در صورت امکان در مورد دلیل اینکه  حداقل دو تا از این An ها با هم اشتراک دارند. بیشتر توضیح بدهید ممنون
توسط fardina (15,713 امتیاز)
اگر همه آنها دو به دو مجزا باشند آنگاه $m(\cup A_n)=\sum_1^\infty m(A_n)=\sum_1^\infty m(A)=\infty$
در حالیکه $\cup A_n\subset [0,2]$.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...