به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
328 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

گردایه ای از مجموعه های شمارا یامتمم شمارا کی سیگما جبر است؟لطفا اثبات کامل بذارید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $ X $ یک مجموعه ناتهی دلخواه باشد در اینصورت گردایه $\mathcal A $ متشکل از تمام زیرمجموعه‌های شمارا یا متمم شمارا یک سیگماجبر است.

اثبات:

  1. اولا اگر $ E\in \mathcal A $ در اینصورت $E $ یا $ E^c $ شمارا است بنابراین $ E^c\in\mathcal A $ .

  2. ثانیا اگر $ E_1, E_2,...\in\mathcal A $ در اینصورت دو حالت داریم :

    • یا برای هر $ i $ مجموعه‌های $ E_i $ شمارا هستند که در اینصورت $ \bigcup_i E_i $ شمارا بوده و لذا $ \bigcup_i E_i\in \mathcal A $ .
    • یا حداقل برای یک $i $ داریم $ E_i^c $ شمارا است در اینصورت $ \bigcap_i E_i^c\subset E_i^c $ شمارا بوده و این یعنی $ ( \bigcup_i E_i)^c= \bigcap_i E_i^c $ شمارا است و لذا باز هم $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A $ .

لذا در هر حالت ثابت شد که $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A$ و مساله ثابت است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...