به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
102 بازدید
در دانشگاه توسط مرادی (417 امتیاز)

چرا $depth(K[x,y]/(xy)^{k}) = 1$ برای هر $k \in N$.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (10,693 امتیاز)

ژرفا (عمق depth) تنها برای حلقه‌های نوتری موضعی تعریف می‌شود. اگر $k$ میدان بستهٔ جبری نباشد، حلقهٔ خارج‌قسمتی‌ای که معرفی کرده‌اید الزاما موضعی نمی‌شود. پس من میدان ضرایب را در اینجا بستهٔ جبری فرض می‌کنم.

توجه کنید که $depth(R)\leq\dim R$ چون بعد کرول حلقه یک است پس ژرفا یا یک است یا صفر. اکنون به یاد آورید که ژرفای یک حلقهٔ موضعی برابر با درجهٔ (grade) ایده‌آل بیشینه می‌بود. درجهٔ یک ایده‌آل نیز درازای (طول) بزرگترین $R$-دنباله در ایده‌آل بود. چون ${x}$ یا ${y}$، $R$-دنباله در ایده‌آل بیشینه‌مان یعنی $\dfrac{\langle x,y\rangle}{\langle (xy)^n\rangle}$ هستند پس باید ژرفا بزرگتر یا مساوی یک باشد. در نتیجه اینکه ژرفای حلقهٔ موضعی‌مان دقیقا یک است را ثابت کردیم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...