به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
151 بازدید
در دبیرستان توسط A Math L
نمایش از نو توسط fardina

اگر $a,b,c>0$ و $a+b+c \geq abc$ آنگاه نشان دهید $a^2+b^2+c^2 \geq abc$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

اولا $ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab+ac+bc$پس در نتیجه

$ a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq (a)^{2} (b)^{2} + (a)^{2} (c)^{2} + (b)^{2} (c)^{2} $

$ a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq (ab)^{2} + (ac)^{2} + (bc)^{2} \geq (ab)(bc)+(bc)(ac)+(ac)(ab) $

در نتیجه

$ a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a+b+c) $

بنابراین

$ ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )^{2} = a^{4} + b^{4} + c^{4} +2 a^{2} b^{2} +2 a^{2} c^{2} +2 b^{2} c^{2} $

پس $ ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )^{2} \geq a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a+b+c) \geq (abc)^{2} $ پس حکم ثابت شده است.

توسط A Math L
میشه نامساوی مورهد رو توضیح بدین .
توسط fardina
@kazomano
با این دو دنباله ای که انتخاب کردید نمیتونید از نامساوی مورهد استفاده کنید.
چون در نامساوی مورهد باید مجموع اعضای آن دو دنباله با هم برابر شود.
توسط kazomano
@fardina
درست میگید من اشتباه کردم

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...