به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
180 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط A Math L

2 رقم سمت راست عدد $9^{8^{7^{6^{5^{.^{.^{.^{2}}}}}}}}$ را بدست آورید .

دارای دیدگاه توسط Taha1381
بنویسید $(100-19)^k$ بعد همه به جز اخری بر ۱۰۰ بخشپذیره پس باقیمانده این عدد برصد برابر است با باقیمانده $19^{2k}$ بر ۱۰۰ و ...
دارای دیدگاه توسط Taha1381
ایده کلی تر رو می تونید با استقرا ثابت کنید باقیمانده $k$ را بر ۱۰ در نظر بگیرید ۹ به توان $k$ در هر باقیمانده $k$ بر ۱۰ عدد خاص ثابتی را تولید می کند.
دارای دیدگاه توسط A Math L
$19^{2k}$  باقیماندش بر 100 چطور بدست میاد ؟ در مورد نظر دوم اگه میشه اثباتش رو هم بذارید .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
مثلا اگر $k=10m$ انگاه باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ برابر است با ۱ چون:

$(9^{10})^m$ دو رقم اخرش برابر ۱ است که در هر عدد ضرب بشه باز دو رقم اخرش ۱ است. برای $k$ های دیگر نیز همین کار را انجام دهید.حال فقط باید باقیمانده $k$ بر ۱۰ رو پیدا کنید که برای این کار باید باقیمانده توان ۸ رو بر ۴ پیدا کنید که به راحتی پیدا می شود سعی می کنم تا فردا جواب رو بزارم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Taha1381
ویرایش شده توسط Taha1381

خوب امیدوارم از طولانی شدن پاسخ خسته نشوید.

باقمانده عدد $9^k$ بر صد به ازای هر باقیمانده $k$ بر ۱۰ عدد خاصی را تولید می کند.پس ما باقیمانده $k$ بر ۱۰ را پیدا می کنیم و باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ را به ازای اینگونه $k$ ها به دست می اوریم.

باقیمانده $8^a$ بر ۱۰ اگر باقیمانده $a$ بر ۴ بر ابر ۰ باشد برابر است با:

$8^{4b}=4096^b$

می دانیم اگر رقم یکان عددی ۶ باشد هر چند بار هم که عدد را به توان برسانیم باز هم رقم یکان ان ۶ است.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۱ باشد رقم یکان ان ۸ است چون:

$8^{4b+1}=4096^b*8$

که رقم یکان ان همواره برابر است با ۸.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۲ باشد رقم یکان ان برابر ۴ است چون:

$8^{4b+2}=4096^b*64$

که رقم یکان ان همواره برابر ۴ است.

اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۳ باشد انگاه رقم یکان ان همواره برابر ۲ است چون:

$8^{4b+3}=4096^b*512$

که رقم یکان ان همواره برابر ۲ است.

پس حال کافی است باقیمانده توان ۸ را بر ۴ بیابیم.

باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d$ همواره برابر ا است چون:

$7^{2d}=49^d=(48+1)^d$

اگر عبارت بالا را با بسط نیوتن بسط دهیم همهی جملات بر ۴ بخشپذیر خواهند بود به جز جمله اخر که مقدار ان برابر ۱ است.پس باقیمانده ان بر ۴ برابر ۱ می شود.

باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d+1$ همواره برابر است با ۳ چون:

$7^{2d+1}=7^d*7$

$=(4f+1)*7$

$=28f+7=4(7f+1)+3=4w+3$

می دانیم که توان ۷ در عبارت بالا عددی زوج است پس باقیمنده ان بر ۴ برابر است با ۱.و می دانیم باقیمانده $8^{4b+1}$ بر ۱۰ برابر است با ۸.

پس ما می خواهیم باقیمانده عبارت $9^{10k+8}$ را بر ۱۰۰ بیابیم

اگر k=10m انگاه باقیمانده 9k بر ۱۰۰ برابر است با ۱ چون:

$9^{10m}=(9^{10})^m=3486784401^m$

که به صورت $100k+1$ است که به هر توانی برسد طبق بسط نیوتن باقیمانده ان بر ۱۰۰ برابر است با ۱.

اگر $k=10m+8$ انگاه باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ برابر است با ۲۱ چون:

$9^{10m+8}=9^{10m}*9^8$

$=(100k+1)*43046721$

$=4304672100K+43046721$

$=100(43046721k+430467)+21=100n+21$

که نتیجه می دهد دو رقم اول ان برابر است با ۲۱.

دارای دیدگاه توسط A Math L
خیلی ممنون ولی اینکه با ماشین حساب بدست اومده ! این سوال تو یکی از آزمونا بوده فکر کنم راه ساده تری داشته باشه .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
خوب شاید بیشترین بخش ماشین حسابیش محاسبه $9^{10}$ باشه که میشه با دست هم محاسبه کرد.
دارای دیدگاه توسط A Math L
همه ضرب هارو میشه محاسبه کرد ولی  اینا وقتگیرن و کمتر کسی سوالی میده که توش نیاز به اینطور ضربایی باشه . شایدم منظور طراح سوال همین پاسخ بوده  شایدم یه راه ساده تر داره .
دارای دیدگاه توسط Taha1381
اره به احتمال زیاد راه حل ساده تری وجود داره.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...