به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
63 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20
ویرایش شده توسط saderi7

حاصل حد زیر را بدست آورید ؟

$$ \lim_{x \rightarrow \pi} [ \frac{3\sin(x^2) -1}{2\cos(x)+1} ]=?$$

ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط saderi7
انتخاب شده توسط amirm20
 
بهترین پاسخ

ابتدا تعریف میکنیم :

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z} $$ $$f(x):=\lfloor x \rfloor=x+p_x \ \ \ \ :0 \leq p_x<1 $$

و میدانیم که تابع جزءصحیح در نقاط $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ پیوسته است و در نقاط $\mathbb{Z}$ ناپیوسته است و داریم :

$$\lim_{x \to n^+}\lfloor x \rfloor=n \ \ \ : n \in\mathbb{Z} $$ $$\lim_{x \to n^-}\lfloor x \rfloor=n-1 \ \ \ : n \in\mathbb{Z} $$

حالا تابع دیگری تعریف میکنیم :

$$g(x):= \frac{3\sin(x^2) -1}{2\cos(x)+1}$$

مقدار تابع در $\pi$ را حساب میکنیم :

$$g(\pi):= \frac{3\sin(\pi^2) -1}{2\cos(\pi)+1}=1-3\sin(\pi^2) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$$

حال از قضیه زیر استفاده میکنیم :

اگر $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=b$ و تابع $f$ در نقطه$g(a)$ پيوسته باشد آنگاه:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(g(x))=f(b)$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ \lim_{x \rightarrow \pi} \lfloor \frac{3\sin(x^2) -1}{2\cos(x)+1} \rfloor=\lim_{x\to\pi}f(g(x))=f(\pi)=2$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...