به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
1,191 بازدید
در دبیرستان توسط taran

مجموعه ی {A={1,2,3,...,49 چند زیر مجموعه دو عضوی دارد که در هر کدام از آن ها اختلاف دو عضو برابر ۲ باشد؟

مرجع: مبتکران

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط A Math L

تعداداین زیر مجموعه ها برابر است با تعداد $x$ های طبیعی است که در نامساوی $x+2 \leq 49$ یا همان $x \leq 47$ صدق کند . تعداد این $x$ ها برابر $ 47$ عدد میباشد .

توسط کیوان عباس زاده
سلام دوست عزیز . راه حلتون اشتباه است
توسط کیوان عباس زاده
معذرت میخوام شما سوال رو درست حل کردید من اول فک کردم در سوال نوشته اختلاف دو عضو حداقل 2 باشد . بنده سوال رو با فرض اینکه اختلاف دو عضو حداقل 2 باشد حل کرده ام .
+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده

سوال را کمی سختر کنیم :

مجموعه $ \lbrace 1,2,...,49\rbrace $ چند زیر مجموعه دو عضوی دارد که اختلاف دو عضوش حداقل برابر $2$ است .

می خواهیم تعداد زیرمجموعه هایی چون $ \lbrace a,b\rbrace $ از مجموعه $ \lbrace 1,2,3,...,49\rbrace $ را بشماریم که $1 \leq a < b \leq 49$ به طوری که $b-a \geq 2$ . حال فرض کنید $ \chi $ گردایه ی چنین زیر مجموعه هایی است : $$ \chi = \lbrace \lbrace a,b \rbrace \mid 1 \leq a < b \leq 49 \ \ ,\ \ b-a \geq 2 \rbrace $$و فرض کنید $ \gamma $ گردایه زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,48\rbrace $ است : $$ \gamma = \lbrace \lbrace a,b\rbrace \mid \ 1 \leq a < b \leq 48\rbrace $$ حال تابع $ \phi : \chi \longrightarrow \gamma $ را به صورت زیر تعریف می کنیم : $$ \phi ( \lbrace a,b\rbrace )= \lbrace a,b-1\rbrace $$به راحتی می توان دید که تابع $\phi $ یک به یک و پوشا است . پس یک تناظر دوسویی بین اعضای $ \chi $ و اعضای $ \gamma $ وجود دارد . بنابراین تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است . یعنی تعداد زیر مجموعه های دو عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,49\rbrace $ که اختلاف آن دو حداقل دو است برابر است با تعداد زیر مجموعه های 2 عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,48\rbrace $ که برابر است با :$$ \binom{48}{2} $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...